相似三角形

这是一篇关于相似三角形的思维导图，主要内容包括：相似形，比例线段，相似三角形，平行向量的线性运算，结构清晰，层次分明，详细阐述了各部分的基本概念、性质、定理及运算规则。

相似三角形

• 相似形
  • 放缩运动：图形的放大或缩小
  • 相似形
    • 概念：形状相同的两个图形是相似的图形，或者说是相似形（全等形是特殊的相似形）
    • 性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例（如果两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是1）
• 比例线段
  • 比例线段
    • 两条线段的比：两条线段的长度的比
    • 比例线段的概念：对于四条线段a,b,c,d，如果a:b=c:d，那么a,b,c,d叫做比例线段。
    • 比例线段的性质
      • 基本性质：如果a/b=c/d，那么ad=bc
      • 更比性质：如果a/b=c/d，那么a/c=b/d或d/b=c/a或d/c=b/a
      • 合比性质：如果a/b=c/d，那么a+b/b=c+d/d或a-b/b=c-d/d
      • 等比性质：如果a/b=c/d=k，那么a+b/b+d=a/b=c/d=k
    • 黄金分割
      • 概念：如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP>PB）两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P为线段AB的黄金分割点
      • 黄金分割数：AP与AB的比值Ö5-1/2称为黄金分割数，近似值为0.618
  • 三角形一边的平行线
    • 定理
      • 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例
      • 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例（推论）
    • 判定
      • 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边
      • 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边（推论）
    • 平行线分线段成比例定理
      • 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例
      • 两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等（平行线等分线段定理）
• 相似三角形
  • 基本概念
    • 相似三角形的概念：如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形
    • 相似比：两个相似三角形的对应边的比
    • 相似三角形的传递性：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似
  • 性质
    • 性质定理1：相似三角形的对应角相等，对应边成比例
    • 性质定理2：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比
    • 性质定理3：相似三角形的周长的比都等于相似比
    • 性质定理4：相似三角形的面积的比都等于相似比的平方
  • 判定
    • 预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似
    • 判定定理1：如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似（A.A）
    • 判定定理2：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（S.A.S)
    • 判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（S.S.S）
    • 直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似（H.L)
• 平行向量的线性运算
  • 向量与实数相乘
    • 概念：设k是一个实数，a 是向量，那么k与 a 相乘所得的积是一个向量，记作k a
    • 如果k¹0，且 a ¹ 0 ，那么k a 的长度ïk a ç=çkïï a ï；k a 的方向：当k>0时k a 与 a 同方向；当k<0时k a 与 a 反方向；如果k=0或 a = 0 ,那么k a = 0
    • k a // a
    • 运算侓（设m、n为实数）
      • （1）m(n a )=(mn) a
      • （2）(m+n) a =m a +n a
      • （3）m( a + b )=m a +m b
    • 平行向量定理：如果向量 b 与非零向量 a 平行，那么存在唯一的实数m，使 b =m a
  • 平行向量的线性运算
    • 概念：向量的加法、减法，实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算
    • 如果 a 、b 是两个不平行的向量，c =m a +n b (m、n是实数)，那么向量 c 就是向量m a 与n b 的合成；也可以说向量 c 分解为m a 、n b 两个向量，这时，向量m a 与向量n b 是向量 c 分别在 a 、 b 方向上的分向量，m a +n b 是向量 c 关于 a 、b 的分解式
    • 平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解

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