导图社区 初中数学导图笔记
下图梳理了的知识点有分数、比与比例、百分数、有理数、整式的加减及乘除、实数与根式、因式分解、分式、统计与概率、方程不等式、平面几何、尺规作图等。
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中心主题
数与式
分数
定义
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或其中几份的数叫分数
写作
分数中间的一条横线叫做分数线，分数线上面的数叫做分子，分数线下面的数叫做分母。 读作几分之几
性质
当分子与分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不发生变化
分类
真分数
分子小于分母的分数
假分数
分子大于等于分母的分数
带分数
假分数的一种，由一个整数加一个真分数
与百分数的区别
意义不同，百分数只表示两个数的倍比关系，不能带单位名称；分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可带单位名称
百分数的分子可以是整数，也可以是小数；而分数的分子不能是小数只是除0以外的自然数；百分数不可以约分，而分数一般通过约分化成最简分数
任何一个百分数都可以写成分母是100的分数，而分母是100的分数并不都具有百分数的意义
应用范围的不同，百分数在生产和生活中，常用于调查、统计、分析和比较，而分数常常在计算、测量中得不到整数结果时使用
比与比例
比
意义
两个数相除又叫做两个数的比
各部分的名称
前项：后项=比值
比与除法、分数的关系
比例
表示两个比相等的式子
a：b = c:d
a和d为外项，b和c为内项
基本性质
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积
正比例
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系
y：x=k（一定）
变化规律
同时扩大，同时缩小，比值不变
反比例
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系
xy=k （一定）
比例尺
一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺
图上距离：实际距离=比例尺
图上距离与实际距离的单位要统一
百分数
表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比
百分数表示两个数之间的比率关系，不表示具体的数量，所以百分数不能带单位
写法
百分数通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“%”来表示。分子部分可为小数、整数，可以大于100，小于100或等于100
互化规则
小数与百分数互化的规则
把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号
把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位
百分数与分数互化的规则
把分数化成百分数，通常先把分数化成小数(除不尽的保留三位小数)，再把小数化成百分数
把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数
有理数
值可以写成两个数的比的数
正整数、0、负整数、正分数、负分数
数轴
规定了远点、正方向、单位长度的直线
数轴上的点与有理数的关系
所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数标在远点的右侧，负有理数标在远点的左侧，0在原点上
相反数
数轴上在原点两侧且到原点距离相等的数
性质与判定
1.任何数都有相反数且只有一个 2.0的相反数是0 3.互为相反数的两个数和为0
绝对值
数轴上数到原点的距离，记作|a|
绝对值的性质
1.任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性 2.绝对值等于0的数只有一个，就是0 3.绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数 4.互为相反数的两个数的绝对值相等
加减法
1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 3.互为相反数的两数相加，和为零 4.一个数与零相加，仍得这个数
减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。
整式的加减及乘除
整式及其加减
整式的定义
分母中不含有未知数的代数式
整式的分类
单项式
由数或字母的积组成的整式叫做单项式
单独的一个数或一个字母也是单项式
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数
未知数的指数的和叫做这个单项式的次数
多项式
由多个单项式的和组成的整式
每个单项式叫做多项式的项
不含字母的项叫做常数项
组成多项式的单项式的个数叫做这个单项式的项数
多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的次数
升幂排列和降幂排列
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列叫做把这个多项式降幂排列
把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列叫做把这个多项式升幂排列
单项式与单项式的加减
将多项式中的同类项合并起来，达到减少多项式的项数，是多项式得到化简的作答，叫做合并同类项。合并同类项后，所得湘的系数是个冰倩个同类项的系数的和，并且字母以及其相对应的次数保持不变
多项式的加减
把多项式看作是单项式的和，然后合并同类项
实数与根式
因式分解
把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解
分解因式与整式乘法互逆
方法
公式法
平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b²
完全平方公式 (a+b)²=a²+2ab+b² (a-b)²=a²-2ab+b²
立方和差公式 a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法
1.如果多项式是第一项系数是负数时，应把公因式的符号“-"提取 2.取多项式 各项系数的最大公约数为公因数的系数 3.把多项式各项都含 有的相同字母（或因式）的最低次幂的积作为公因式的因式 4.如果括号前是负数时，应该 把括号内的单项式变号
十字相乘法
十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项
把2x²-7x+3分解因式 分解常数项:3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3) 1 3 ╳ 2 1 1×1+2×3=7 ≠-7 1 1 ╳ 2 3 1×3+2×1=5 ≠-7 1 -1 ╳ 2 -3 1×(-3)+2×(-1)=-5 ≠-7 1 -3 ╳ 2 -1 1×(-1)+2×(-3)=-7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7 2x²-7x+3=(x-3)(2x-1)
换元法
它的基本思路就是将多项式中的某一部分用新的变量替换
分组分解法
二二分法： ax+ay+bx+by =(ax+ay)+(bx+by) =a(x+y)+b(x+y) 分组分解法 =(a+b)(x+y)
三一分法： 2xy-x²+1-y² = -x²+2xy-y²+1 = -(x²-2xy+y²)+1 = 1-(x-y)² = (1+x-y)(1-x+y)
注意四原则
1．分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式） 2．最后结果只有小括号 3．最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=x(-3x+1）） 4．最后结果每一项都为最简因式
分式
形如A/B，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母
注意
1.分式的分母中必须含有字母 2.分母的值不能为零
分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：A/B=(A*C)/(B*C)， A/B=（A÷C）/（B÷C）（A,B,C为整式，且B、C不等于0）
运算法则
乘除
两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置（除数的倒数）后再与被除式相乘
加减
1.同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减 2.异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算
统计与概率
数据的收集整理与表示
数据的收集
普查和抽样调查
为某一特定目的而对所有考察对象进行的一次性全面调查叫做普查，其中多要考察对象的圈地成为总体，而组成总体的每一个考察对象称为个体
从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查成为抽样调查。其中从总体中凑取得一部分个体叫做总体的样本，样本中个体的数量叫做样本容量，一般讲样本容量与总体的数量的比值称为抽样比
数据的整理
对著局进行整理，就是将收集到的所有数据按照一定的标准分别划分为若干组。通过间杂乱无章的数据进行分组整理，可以比较清晰地掌握数据的整体分布情况
数据的表示
扇形统计图
表示各种情况下的人数与总数之间的关系
在扇形统计图中，每部分占总体的百分等于该部分所对应的扇形圆心角度数与360°的比
条形统计图
表示出每个项目的具体数目
折线统计图
反映事物的变化趋势
频数分布直方图
所有数据中最大值与最小值的差称为极差
每个对象出现的次数为频数
把全体样本分成的组的个数称为组数
把所有数据分成若干小组，每个小组的两个端点的距离
有若干个宽等于组距、面积或高直接表示每一组频数的长方形组成的统计图
数据的分析
数据的集中趋势
平均数
中位数与众数
将一组数据有小到大（或由大到小）排列，如果数据的个数是技术，则处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的格式是偶数，则称中间两数据的平均数为这组数据的中位数
一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数
数据的波动程度
各数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差
方差越大，数据的波动越大，数据越不稳定；方差越小，数据的波动越小，数据越稳定
概率初步
随机事件与概率
随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件
在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件
在一定条件下，一定不会发生的事件叫做不可能时间
随机事件发生的概率
一般的，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P（A）
两个共同特点：1.有限性：每一次试验中，可能出现的结果只有有限个 2.等可能性：每一次试验中，各种结果出现的可能性相等
一般的，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且他们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=m/n
用列举法求概率
在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等。那我们可以使用列举的方法求出随机事件发生的概率
用频率估计概率
方程与不等式
一元一次方程
二元一次方程组
一元一次不等式（组）
分式方程
平面几何
相交与平行线
直线、射线、线段
角
相交线
平行线及其判定
平行线的性质
平移
命题与证明
圆的初步
圆的认识
圆的周长
圆的面积
弧与弧长
扇形和扇形的面积
认识三角形
全等三角形
特殊三角形
图形的旋转
位置与坐标
位置的确定
我们把这种有顺序的两个实数a与b组成的数对，叫做有序实数对
平面直角坐标系
平面内两条原点重合、互相垂直的数轴，这就建立了平面直角坐标系
我们把其中水平的那根数轴叫做x轴，取右方向为正方向；竖直的那根数轴叫做y轴，取上方向为正方向，两个坐标轴的交点叫做原点
象限
右上角的部分称为第一象限，第一象限内的点横坐标与纵坐标都大于零 左上角的部分称为第二象限，第二象限内的点横坐标小于零，纵坐标大于零 左下角的部分称为第三象限，第三象限内的点横坐标和纵坐标都小于零 右下角的部分称为第四象限，第四象限内的点横坐标大于零，纵坐标小于零
平面直角坐标系的应用
特殊直线上点的坐标
x轴上的点纵坐标为零，y轴上的点横坐标为零 第一、三象限角平分线上的任意一点的横坐标与纵坐标相同 第二、四象限角平分线上的任意一点的横坐标与纵坐标相反
点到坐标轴的距离
对于平面内任意一点P（a，b），到x轴的距离为｜b｜，到y轴的距离为｜a｜
两点间的距离
对称点的坐标
若P、Q两点关于x轴对称，则P、Q两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若P、Q两点关于y轴对称我，则两点的横坐标为相反数，纵坐标相等；若两点关于原点对称，则两点的横坐标与纵坐标都互为相反数
如何定位
1.建立平面直角坐标系，选择一个适当的参照物为原点，并确定x轴和y轴的正方向 2.根据具体问题确定适当的比例尺，定出直角坐标系中的单位长度 3.在坐标平面内画出表示这些地点的点，并在附近写出该点的坐标和该点对应的地名
利用坐标计算周长与面积
尺规作图
