高中数学必修一第二章 一元二次函数、方程和不等式

这是一篇关于第二章 一元二次函数、方程和不等式的思维导图，主要内容包括：2.1 等式性质与不等式性质，2.2 基本不等式，2.3 二次函数与一元二次方程、不等式。

第二章 一元二次函数、方程和不等式

• 2.1 等式性质与不等式性质
  • 等式的基本性质
    • 性质一 如果a=b，那么b=a
    • 性质二 如果a=b，b=c，那么a=c
    • 性质三 如果a=b，那么a±c=b±c
    • 性质四 如果a=b，那么ac=bc
    • 性质五 如果a=b，c≠0，那么a/c=b/c
  • 不等式性质
    • 性质一 如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b，即a＞bÛb＜a
    • 性质二 如果a＞b，b＞c，那么a＞c。即a＞b，b＞cÞa＞c
    • 性质三 如果a＞b，那么a+c＞b+c
    • 性质四 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc
    • 性质五 如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d
    • 性质六 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd
    • 性质七 如果a＞b＞0，那么aⁿ＞bⁿ（n∈N，n≥2）
• 2.2 基本不等式
  • 为基本不等式(basic inequality)，其中，后半叫做正数 a，b 的算术平均数，前半叫做正数 a，b 的几何平均数。
• 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
  • 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等，一元二次不等式的一般形式是ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.
  • 以求解可化成ax²+bx+c>0（a＞0）形式的不等式为例，计算根的判别式 Δ=b^2-4ac
    • Δ>0
      • 方程的根
        • 有两个不相等的实数根
      • 函数图像
        • 有两个零点x1,x2
      • ax^2+bx+c>0的解集
        • x<x1或x>x2
      • ax^2+bx+c<0的解集
        • x1<x<x2
    • Δ=0
      • 方程的根
        • 有相等的一个实数根
      • ax^2+bx+c>0的解集
        • x不等于零点x1
      • 函数图像
        • 有唯一零点x1
      • ax^2+bx+c<0的解集
        • 空集
    • Δ<0
      • 方程的根
        • 无实数根
      • 函数图像
        • 无零点
      • ax^2+bx+c<0的解集
        • 空集
      • ax^2+bx+c>0的解集
        • R