高中数学第三章 函数的概念与性质

这是一篇关于第三章 函数的概念与性质的思维导图，主要内容包括：3.1 函数的概念及其表示，3.2 函数的基本性质，3.3 幂函数。 2025年开始持续更新……

第三章 函数的概念与性质

• 3.1 函数的概念及其表示
  • 函数的概念
    • 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作 y=f(x)，x∈A。
    • x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；
    • 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)∣x∈A}叫做函数的值域（range）。
  • 函数的表示法
    • 解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
    • 列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系
    • 图形法，就是用图像表示两个变量之间的对应关系
• 3.2 函数的基本性质
  • 单调性与最值
    • 单调性
      • 如果∀x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增。
        • 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数（increasing function）。
      • 若∀x1,x2∈D，当⁤x_1时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减。
        • 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数（decreasing function）。
    • 最值
      • 一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： (1) ∀x∈I，都有f(x)≤M； (2) ∃x0∈I，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f（x）的最大值；最小值同理
  • 奇偶性
    • 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有−x∈I，且f(−x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(even function).
    • 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有−x∈I，且f(−x)=−f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function).
• 3.3 幂函数
  • 一般地，函数y=xª叫做幂函数（power function），其中x是自变量，a是常数。