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九年级数学
二十四章 圆
24.2点和圆、直线和圆的位置关系
1点和圆的位置关系
三角形外心
外心的位置
直角三角形
在斜边的中点上
钝角三角形
在三角形的外部
锐角三角形
在三角形内部
到三个顶点的距离相等
因为都是半径
垂直平分线的性质
三条边的垂直平分线的交点
三点定圆
概念
不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆
作法
链接
作垂直平分线
点和圆的位置关系
点在圆内
d＜r
点在圆外
d＞r
点在圆上
d=r
反证法
证明相反面是错误的
2直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系
相切
切线
与圆有一个交点的直线
切点
切线与圆的交点
判断方法
有一个交点
相交
割线
交点
有两个交点
相离
没有交点
判定
垂直
告诉切点
平行
全等
90°
没有告诉切点
证明题无用
用法
看到切线连半径
证明切线连半径
性质
垂直于过切点的半径
三角形内心
直角三角形的内切圆半径r=（a+b-c）/2
到三边的距离相等
都是半径
角平分线的性质
位置
三角形内部
三条角平分线的交点
切线长
切线长相等
角平分线
对角互补
24.1圆的有关性质
4圆周角定理
推论2
直径所对的圆周角是90°，90°的圆周角所对的弦是直径
定理
一条弧所对的圆周角是圆心角的一半
圆内接四边形
外角等于它的内对角
推论1
同弧或等弧所对的圆周角相等
找直角三角形
找相等的角
求角度数
1圆的相关概念
弧
优弧
用三个字母表示
劣弧
用两个字母表示
半圆
圆
动态定义
静态定义
到定点的距离等于定长的点的集合
等弧
存在于同圆或等圆中
等圆
半径相等
弦
直径
2垂径定理
垂直弦推出平分弦和平分弧
平分弧推出垂直弦和平分弦
平分弦推出垂直弦和平分弧
注意非直径
推论3
弦的垂直平分线经过圆心
用来找圆心
知二求二
弦心距
半径
弦长
弓高
3圆心角定理
弦相等推出圆心角相等和弧分别相等
圆心角相等推出弦相等和弧相等
弧相等推出圆心角相等和弦相等
找相等的量
知一推2
24.3正多边形和圆
1作图
等分圆周
等分圆心角
尺规作图
不能画左右的正多边形
2计算
s=lr/2
24.4弧长和扇形面积
2扇形面积
S=(nπr^2)/360
S=lr/2
1弧长
L=(nπr)/180
3圆锥的侧面积
S=πRr
二十二章 二次函数
22.1二次函数的图像与性质
8 补充
1系数的作用
二次项系数a
a的符号决定开口方向
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
丨a丨决定开口大小
丨a丨越大，开口越小
a＞0时
a越大开口越小
a＜0时
a越大开口越大
常数项c
决定与y轴的交点位置
c＞0
与y轴交点在正半轴
c＜0
与y轴交点在负半轴
c=0
与y轴交点在原点
一次项系数b
和a一起影响对称轴
ab＞0
对称轴在y轴左侧
ab＜0
对称轴在y轴右侧
ab=0
对称轴为y轴
3性质的用法
4增减性
判断顶点是最高点或最低点
比较大小
对称轴法
对称法
判断开口方向
影响对称轴
1开口方向
判断顶点是最高点或者最低点
判断a的符号
判断增减性
2对称轴
判断a和b的关系
左同右异
影响顶点的横坐标
影响增减性
3顶点坐标
原点（0,0）
求极值
2如何看二次函数图像
2看对称轴
对称轴与y轴的关系
判断a和b的符号关系
对称轴与±1的关系
判断a和b的数量关系
5看x=±1
判断a±b+c的符号
1看开口方向
3看与y轴交点位置
判断c的符号
4看与y轴交点的个数
判断△
5与一元二次不等式的关系
y＞0
对应x轴上方
y＜0
对应x轴下方
4与方程组的关系
求函数交点的坐标
6 y=ax^2+bx+c的图像与性质
x＜-b/2a y随x增大而减小
x＞-b/2a y随x增大而增大
x＜-b/2ay随x增大而增大
x＞-b/2a y随x增大而减小
一般形式性质的判断
一般形式化成顶点式判断
直接用公式判断
原点（-b/2a,(4ac-b^2)/4a）
直线x=-b/2a
2 y=ax^2的图像与性质
x＜0 y随x增大而减小
x＞0 y随x增大而增大
x＜0 y随x增大而增大
x＞0 y随x增大而减小
y轴
3 y=ax^2+k的图像与性质
函数图像平移
上下平移
上+下-
原点（0,k）
4 y=a〖(x-h)〗^2的图像与性质
x＜h y随x增大而减小
x＞h y随x增大而增大
x＜h y随x增大而增大
x＞h y随x增大而减小
左右平移
左+右-
原点（h,0）
直线x=h
5 y=a〖(x-h)〗^2+k的图像与性质
原点（h,k）
7 待定系数法求解析式
顶点式
y=a〖(x-h)〗^2+k
交点式
y=a(x-x_1)(x-x_2)
一般形式
y=ax^2+bx+c
1概念
y=ax^2+bx+c(a≠0)
22.2二次函数与一元二次方程
1交点个数等于方程根的个数
△＞0
函数与X轴有两个交点
方程有两个不相等的实数根
△=0
函数与X轴有一个交点
方程有两个相等的实数根
△＜0
函数与X轴有没有交点
方程没有实数根
2交点横坐标等于方程的根
22.3实际问题与二次函数
1最大利润问题
2最大面积问题
3拱桥问题
二十三章 旋转
23.2中心对称
1中心对称
2性质
3对称点所连线段被对称中心平分
2对称点所连线段相交于一点
1中心对称的两个图形全等
3作图
1在原图形找特殊点
2作特殊点的对称点
延长
截取
3连线
2中心对称图形
与中心对称的关系
区别
中心对称是两个图形
中心对称图形是一个图形
联系
可以相互转化
能够平稳的旋转
3关于原点对称的点的坐标
横纵坐标互为相反数
P（x,y） P(-x,-y)
23.1图形的旋转
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角（旋转角相等）
对应点到旋转中心的距离相等
旋转前后两个图像全等
把平面图形绕着平面内的某一点转动一个角度就叫做图形的旋转
旋转三要素
旋转中心
旋转方向
旋转角度
2作特殊点的对应点
用量角器量
用圆规截取
23.3图案设计
1图案设计
选学
二十一章 一元二次方程
21.3实际问题与一元二次方程
3利润问题
涨价问题
单件利润*总件数=总利润
降价问题
5数字问题
三位数
a*100+b*10+c
连续偶数
2n-2 2n 2n+2
连续奇数
2n-1 2n+1
1握手问题
握手问题
x(x-1)/2=总次数
送相片问题
x(x-1)=总次数
2增长率问题
增长率
a(1+x)^2=b
下降率
a(1-x)^2=b
4面积问题
修路问题
化零为整
篱笆问题
表示长和宽
21.2解一元二次方程
4因式分解发
完全平方公式
a^2±2ab+b^2=(a±b)^2
平方差公式
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
提公因式
ma+mb=m(a+b)
十字交叉相乘
2配方法
1除 2移 3配 4解
一次项系数一半的平方
配方法求多项式极值
化系数为1
除
提
3公式法
∆=b^2-4ac
判断方程的根
证明方程的根
知根求参数
x=(-b±√(b^2-4ac))/2a
1化 2△ 3求根公式
5根据系数的关系
知1根求另一根
x_1+x_2=-b/a
求代数式的值
x_1 x_2=c/a
1直接开方法
x^2=p
(〖x+n)〗^2=p
21.1一元二次方程
2一般形式
二次项
二次项系数
一次项
一次项系数
常数项
化一般形式找a b c
一元 二次 整式
判定是否是一元二次方程
3根
方程的解
求方程参数的值
方法：带入
二十七章 相似
27.2相似三角形
2判定
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
直角边和斜边成比例的两个三角形相似
两角分别相等的两个三角形相似
平行线分线段成比例基本事实
三边成比例的两个三角形相似
平行线判定
3性质
面积
对应的面积比等于相似比的平方
线
对应的线段比等于相似比
周长
对应的周长比等于相似比
边
对应边成比例
角
对应角相等
看形状
看边和角
4应用
求长度
求高度
27.1图形的相似
形状相同的两个图形
2相似多边形
对应角相等，对应边成比例
27.3位似
平面内
放大
缩小
平面直角坐标系内
位似后的坐标
(kx,ky)
(-kx,-ky)
位似前的坐标
（x,y）
位似比
k
位似比等于相似比
对应边平行或重合
相似的性质
1相似
2对应点的连线相交于一点
二十五章 概率初步
25.1随机事件与概率
1事件的分类
分成两类
确定性事件
必然事件
不可能事件
随机事件
随机事件发生的可能性是有大小的
分成三类
2概率
公式
p=m/n
实验的结果是有限个
每种结果发生的可能性都相等
取值范围
0＜P＜1
P=1
P=0
概率是数值
25.2用列举法求概率
4补充
几何图形求概率
小面积比上大面积
直接抓两个与不放回的区别
放回与不放回的区别
3列树状图发
涉及到两个或两个以上因素
1直接列举法
涉及到一个因素
2列表法
涉及到两个因素
25.3用频率估计概率
1用频率估计概率
看表格最有一个数
二十六章 反比例函数
26.1反比例函数
1象限
k＞0 经过一 三象限
k＜0 经过二 四象限
2增减性
k＞0 在每个象限内y随x增大而减小
k＜0 在每个象限内y随x增大而增大
2图像
双曲线
画图
连线
图像是连段，不能连在一起
列表
注意x≠0
描点
无限接近坐标轴，但没有交点
中心对称图形
关于原点对称
轴对称图形
两条对称轴
待定系数法求函数解析式
y=k/x(x≠0)
y=kx^-1
k=xy
26.2实际问题与反比例函数
应用
第一问 求解析式
第二问 知x求y
第三问 知y求x
二十八章 三角函数
28.1锐角三角函数
1锐角三角函数
正弦
对边比斜边
余弦
领边比斜边
正切
对边比临边
2特殊的锐减三角函数值
30°
45°
60°
3用计算器求三角函数
28.2解直角三角形及其应用
3应用
类型
解两个直角三角形
一个能解一个不能解
两个都不能解
两个都能解
解三个直角三角形
一个能解两个不能解
三个不能解
仰角俯角问题
坡度皮角问题
方向角问题
2解法
边角关系
三角函数
勾股定理
互余
有已知元素求未知元素的过程
二十九章 投影与视图
29.1投影
2投影的分类
平行投影
正投影
斜投影
中心投影
1投影的概念
投影线
投影面
投影
3正投影的性质
29.2三视图
1会画
实线虚线
看得见的用实线
看不见的用虚线
组合体
每个部分都要对齐
主视图
俯视图
左视图
对应关系
长对正
高平齐
宽相等
3会算
计算表面积
计算体积
柱形体
锥形体
2会看
