初中几何公式定理新

这是一篇关于初中几何公式定理的思维导图，主要内容包括：①线，②角，③三角形，④等腰三角形，⑤直角三角形，⑥相似，⑦全等，⑧四边形，⑨矩形，⑩菱形，⑪正方形，⑫等腰梯形，⑬等分，⑭圆。

• ①线
  • 同角或等角的余角相等
  • 同角或等角的补角相等
  • 直线
    • 过一点有且只有 一条直线和已知直线垂直
    • 过两点有且只有一条直线
  • 线段
    • 两点之间线段最短
    • 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
  • 平行
    • 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
    • 如果两条直线都和第三条直线平行，着两条直线也互相平行
  • 垂直平分线
    • 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
    • 定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
    • 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
  • 对称
    • 定理1
      • 关于某直线对称的两个图形是全等形
    • 定理2
      • 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
    • 定理3
      • 如果两个图形关于某直线对称
      • 它们的对应线段或者延长线相交，那么交点在对称轴上
    • 逆定理
      • 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分
      • 那么两个图形关于这条直线对称
• ②角
  • 同位角相等
  • 内错角相等
  • 同旁内角互补
  • 两直线平行
  • 两直线平行
    • 同位角相等
    • 内错角相等
    • 同旁内角互补
  • 角平分线
    • 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
• ③三角形
  • 定理
    • 三角形两边之和大于第三边
  • 推论
    • 三角形两边之差小于第三边
  • 内角和定理
    • 三角形的内角和等于180º
    • 推论1：直角三角形的两个锐角互余
    • 推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
    • 推论3：三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角
  • 勾股定理
    • 直角三角形两个直角边a、b的平方和等于斜边c的平方
      • 即
    • 逆定理
      • 如果三角形的三边a、b、c有关系
      • 那么这个三角形是直角三角形
• ④等腰三角形
  • 性质定理
    • 等腰三角形的两个底角相等
    • 推论1：顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
    • 推论2：顶角平分线、底边上的中线和高互相重合（三线合一）
    • 推论3：等边三角形的各角都相等，都是60º
  • 判定定理
    • 如果一个三角乡有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
    • 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
    • 推论2：有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形
• ⑤直角三角形
  • 30º角所对的直角边等于斜边的一半
  • 斜边上的中线等于斜边上的一半
• ⑥相似
  • 定理
    • 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交
    • 所构成的三角形与原三角形相似
  • 判定定理
    • i. 两角对应相等，两三角形相似（ASA)
    • ii. 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS)
    • iii. 三边对应成比例，两三角形相似（SSS)
    • iv. 两直角三角形
      • 斜边和一条直角边对应成比例，两三角形相似
    • v. 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
  • 性质定理
    • 相似三角形
      • 对应高的比
      • 对应中线的比
      • 对应角平分线的比
      • 都等于相似比
    • 相似三角形周长的比等于相似比
    • 相似三角形面积的比等于相似比的平方
• ⑦全等
  • 边角边公理
    • 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
  • 角边角公理
    • 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
  • 推论
    • 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
  • 斜边直角边公理
    • 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
  • 全等三角形的对应边、对应角相等
• ⑧四边形
  • 定理
    • 四边形的内角和等于360º
  • 四边形的外角和等于360º
  • 多边形内角和定理
    • n边形的内角和等于（n-2)×180º
    • 推论：任意多边形的外角和等于360º
  • 平行四边形
    • 性质定理
      • i. 对角相等
      • ii. 对边相等
      • iii. 推论：夹在两条平行线间的平行线段相等
      • iv. 对角线互相平分
    • 判定定理
      • i. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
      • ii. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
      • iii. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
      • iv. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
• ⑨矩形
  • 性质定理
    • 四个角都是直角
    • 对角线相等
  • 判定定理
    • 有三个角是直角的四边形是矩形
    • 对角线相等的平行四边形是矩形
• ⑩菱形
  • 性质定理
    • 四条边相等
    • 对角线
      • 互相垂直
      • 平分一组对角
    • 菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷2
  • 判定定理
    • 四边都相等的四边形是菱形
    • 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
• ⑪正方形
  • 性质定理
    • 四个角都是直角
    • 四条边都相等
    • 两条对角线
      • 相等
      • 互相垂直平分
      • 每条平分一组对角
  • 定理1：关于中心对称的两个图形是全等的
  • 定理2：关于中心对称的两个图形
    • 对称点连线都经过对称中心
    • 并且被对称中心平分
  • 逆定理：如果两个图形的对应点的连线
    • 都经过某一点且被这一点平分
    • 那么这两个 图形关于这一点对称
• ⑫等腰梯形
  • 性质定理
    • 同一底上的两个角相等
    • 两条对角线相等
  • 判定定理
    • 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
    • 对角线相等的梯形是等腰梯形
• ⑬等分
  • 平行线等分线段定理
    • 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等
    • 那么在其他直线上截得的线段也相等
    • 推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
    • 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，比平分第三边
  • 三角形中位线定理
    • 平行于第三边且等于它的一半
  • 梯形中位线定理
    • 平行于两底，且等于两底和的一半
    • L=(a+b)÷2
      • S=L×h
  • 比例
    • 基本性质
      • 如果a:b=c:d，那么ad=bc
      • 如果ad=bc，那么a:b=c:d
    • 合比性质
      • 如果a/b=c/d，那么(a±b)/b=(c±d)/d
    • 等比性质
      • 如果a/b=c/d=…=m/n , (a+b+…+n≠0)
      • 那么(a+b+…+m)/(b+d+…+n)=a/b
  • 平行线分线段成比例定理
    • 三条平行线截两条直线 ，所得的对应线段成比例
    • 推论
      • 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）
      • 所得的对应线段成比例
  • 定理
    • 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例
    • 那么这条直线平行于三角形的第三边
  • 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
  • 任意锐角
    • 正弦值等于它的余角的余弦值
    • 余弦值等于它的余角的正弦值
    • 正切值等于它的余角的余切值
    • 余切值等于它的余角的正切值
• ⑭圆
  • 圆是定点的距离等于定长的点的集合
    • 圆的内部
      • 可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
    • 圆的外部
      • 可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
  • 同圆或等圆的半径相等轨迹
  • 轨迹
    • 到定点的距离等于定长的点的轨迹
      • 是以定点为圆心，定长为半径的圆
    • 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹
      • 是这条线段的垂直平分线
    • 到已知角的两边距离相等的点的轨迹
      • 是这个角的平分线
    • 到两条平行线距离相等的点的轨迹
      • 是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线
  • 定理
    • 不在同一直线上的三个点确定一个园
  • 垂径定理
    • 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
    • 推论1
      • 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
      • 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
      • 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
    • 推论2
      • 圆的两条平行线所夹的弧相等
  • 圆是圆心为对称中心的中心对称图形
  • 定理
    • 在同圆或等圆中
      • 相等的圆心角所对的
        • 弧相等
        • 弦相等
        • 弦的弦心距相等
    • 推论
      • 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等
      • 那么它们所对应的其余各组量都相等
  • 定理
    • 一条弧所对的圆周角等与它所对的圆心角的一半
    • 推论1
      • 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
    • 推论2
      • 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90º的圆周角所对的弦是直径
    • 推论3
      • 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
  • 定理
    • 圆的内接四边形的对角互补
    • 并且任何一个外角都等于它的内对角
  • 直线和⊙O
    • 相交
      • d<r
    • 相切
      • d=r
    • 相离
      • d>r
  • 切线
    • 判定定理
      • 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
    • 性质定理
      • 圆的切线垂直于经过切点的半径
    • 推论1
      • 经过圆心且垂直于切线的直线比经过切点
    • 推论2
      • 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
    • 切线长定理
      • 从圆外一点引圆的两条切线
      • 它们的切线长相等
      • 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
  • 圆的外切四边形的两组对边的和相等
  • 弦切角定理
    • 弦切角等于他所夹的弧对的圆周角
  • 推论
    • 如果两个弦切角所夹的弧相等
    • 那么这两个弦切角也相等
  • 相交弦定理
    • 圆内的两条相交弦
    • 被交点分成的两条线段长的积相等
  • 推论
    • 如果弦与直径垂直相交
    • 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
  • 切割线定理
    • 从圆外一点引圆的切线和割线
    • 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
  • 推论
    • 从圆外一点引圆的两条割线
    • 这一点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等
  • 如果两个圆相切
    • 那么切点一定在连心线上
  • 圆的位置关系
    • 两圆外离
      • d>R+r
    • 两圆外切
      • d=R+r
    • 两圆相交
      • R-r<d<R+r (R>r)
    • 两圆内切
      • d=R-r (R>r)
    • 两圆内含
      • d<R-r (R>r)
  • 定理
    • 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
  • 定理
    • 把圆分成n (n≥3)
      • 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
      • 经过各分点做圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
  • 定理
    • 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
  • 正n边形的每个内角都等于
  • 定理
    • 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
  • 正n边形的面积
  • 正三角形的面积
  • 正n边形密铺
    • 如果在一个顶点周围有k个正n边形的角
      • 由于这些角的和应为360º
  • 弧长计算公式
  • 扇形面积公式
  • 内公切线长=d-(R-r)
  • 外公切线长=d-(R+r)