初中数学定理

这是一篇关于初中数学定理的思维导图，归纳了初中数学中各类图形的重要定理，主要内容包括：三角形，四边形，圆，图形的变化。有助于学生系统地梳理和掌握相关知识，形成完整的知识体系。

初中数学定理

• 三角形
  • 直线的基本事实
    • 过两点有且只有一条直线
  • 线段的基本事实
    • 两点之间线段最短
  • 垂线的基本性质
    • 1.在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
    • 2.直线外一点与直线上任意点连接的线段中，垂线段最短
  • 垂直平分线的性质
    • 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
  • 垂直平分线的判定
    • 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
  • 平行公理
    • 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
  • 平行公理的推论
    • 与同一条直线平行的两条直线平行
  • 平行线的性质
    • 1.两直线平行，同位角相等
    • 2.两直线平行，内错角相等
    • 3.两直线平行，同旁内角互补
  • 平行线的判定
    • 1.同位角相等，两直线平行
    • 2.内错角相等，两直线平行
    • 3.同旁内角互补，两直线平行
    • 4.垂直于同一条直线的两条直线平行
  • 余角的性质
    • 同角(或等角)的余角相等
  • 补角的性质
    • 同角(或等角)的补角相等
  • 三角形的三边关系
    • 两边之和大于第三边,两边之差小于第三边
  • 三角形的内角和
    • 三角形三个内角和等于180°
  • 三角形的外角和
    • 三角形的外角和等于360°
  • 三角形角平分线的性质
    • 角的平分线上的点到角两边的距离相等
  • 三角形角平分线的判定
    • 角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上
  • 三角形中位线定理
    • 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
  • 全等三角形的性质
    • 1.全等三角形的对应边相等，对应角相等；
    • 2.全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线和中位线)相等；
    • 3.全等三角形的周长相等、面积相等.
  • 全等三角形的判定
    • 1.边角边(SAS)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
    • 2.角边角(ASA)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
    • 3.角角边(AAS)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
    • 4.边边边(SSS)三边对应相等的两个三角形全等
    • 5.斜边、直角边(HL)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
  • 等腰三角形的性质
    • 1.等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)
    • 2.等腰三角形的顶角平分线.底边上的中线和底边上的高互相重合(三线合一)
    • 3.等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴
  • 等腰三角形的判定
    • 三角形中两条边相等或者两个角相等.
  • 直角三角形的性质
    • 1.直角三角形的两锐角互余
    • 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
    • 3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
  • 直角三角形的判定
    • 1.有一个角为90°,或有两个角互余的三角形是直角三角形
    • 2.如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
  • 平行线分线段成比例
    • 两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，截得的对应线段的长度成比例.
  • 平行线分线段成比例的推论
    • 平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例.
  • 相似三角形的性质
    • 1.对应角相等，对应边成比例；
    • 2.周长的比等于相似比；
    • 3.面积的比等于相似比的平方.
  • 相似三角形的判定
    • 1.两角对应相等，两三角形相似
    • 2.两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
    • 3.三边对应成比例，两三角形相似
    • 4.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
• 四边形
  • 平行四边形的性质
    • 1.平行四边形的对角相等
    • 2.平行四边形的对边相等
    • 3.平行四边形的对角线互相平分
  • 平行四边形的判定
    • 1.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
    • 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
    • 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
    • 4.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
    • 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形
  • 矩形的性质
    • 1.两组对边分别平行且相等
    • 2.四个角都是直角
    • 3.对角线互相平分且相等
  • 矩形的判定
    • 1.有三个角是直角的四边形是矩形
    • 2.对角线相等的平行四边形是矩形
  • 菱形的性质
    • 1.对边平行，四边都相等
    • 2.对角相等，邻角互补
    • 3.对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角
  • 菱形的判定
    • 1.四边都相等的四边形是菱形
    • 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
  • 正方形的性质
    • 1.对边平行，四边都相等
    • 2.四个角都是直角
    • 3.对角线互相垂直平分且相等，且每条对角线平分一组对角
  • 正方形的判定
    • 1.有一个直角的菱形是正方形
    • 2.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
• 圆
  • 垂径定理
    • 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧(2022年版课标将探索并证明垂径定理调整为考查内容)
  • 垂径定理的推论
    • 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
  • 圆心角定理
    • 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
  • 圆心角定理的推论
    • 1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等
    • 2.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的周心角相等，所对的弧相等
  • 圆周角定理
    • 在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
  • 圆周角定理的推论
    • 1.同弧或等弧所对的圆周角相等；
    • 2.半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
  • 圆内接四边形的性质
    • 1.圆内接四边形的对角互补；
    • 2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角
  • 切线的性质
    • 圆的切线垂直于过切点的半径
  • 切线的判定
    • 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
  • 切线长定理
    • 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
  • 三角形的外接圆
    • 外接圆的圆心(外心)到三个顶点的距离相等
  • 三角形的内切圆
    • 内切圆的圆心(内心)到三角形三边的距离相等
• 图形的变化
  • 图形的平移
    • 1.平移前后，对应线段平行(或共线)且相等，对应角相等
    • 2.对应点所连线段平行(或共线)且相等
    • 3.平移前后的图形全等
  • 图形的对称
    • 1.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
    • 2.关于某条直线对称的两个图形是全等形
    • 3.关于中心对称的两个图形是全等的
    • 4.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
  • 图形的折叠
    • 1.折叠的实质是轴对称，位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称
    • 2.折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线段周长、面积都分别相等
    • 3.折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分
  • 图形的旋转
    • 1.对应点到旋转中心的距离相等
    • 2.对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角
    • 3.旋转前、后的图形全等