北师大版八年级数学上册知识点

这是一篇关于北师大版八年级数学上册知识点的思维导图，主要内容包括：第一章 勾股定理等七章内容

北师大版八年级数学上册知识点

• 第一章 勾股定理
  • 1.勾股定理
    • 直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c²
  • 2.勾股定理的逆定理
    • 如果三角形的三边长a,b,c有关系a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形。
  • 3.勾股数：满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。

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• 第二章 实 数
  • 一 、实数的概念及分类
    • 1.实数的分类
    • 2.无理数
      • 无限不循环小数叫做无理数。
      • 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
        • (1)开方开不尽的数，如 √7,³√2等；
        • (2)有特定意义的数，如圆周率π,或化简后含有π的数，如等
        • (3)有特定结构的数，如0.1010010001…等 ；
        • (4)某些三角函数值，如sin60°等
  • 二、实数的倒数、相反数和绝对值
    • 1.相反数
      • 实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反 数是零),从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0,a=—b, 反之亦成立。
    • 2.绝对值
      • 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。(|a|≥0) 。 零的 绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a, 则 a≥0; 若|a|=-a, 则 a≤0。
    • 3.倒数
      • 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1, 反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零 没有倒数。
    • 4.数轴
      • 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的 三要素缺一不可)。
      • 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
    • 5.估算
  • 三、平方根、算数平方根和立方根
    • 1.算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a,即 x²=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。
      • 表示方法：记作“ √a”, 读作根号a。
      • 性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
    • 2.平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即 x²=a,那么这个数x 就叫做a的平方根(或二次方根)。
      • 表示方法：正数a的平方根记做“±√a”, 读作“正、负根号a”。
      • 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根 。
      • 开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
      • 注意 √a 的双重非负性：
    • 3.立方根
      • 一般地，如果一个数x的立方等于a, 即x³=a 那么这个数x 就叫做a的立方根(或三次方根)。表示方法：记作 √a
      • 性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
      • 注意：³√-a=-³√a,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
  • 四 、实数大小的比较
    • 1.实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
    • 2.实数大小比较的几种常用方法
      • (1)数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
      • (2)求差比较：设a 、b 是实数，
        • a-b>0⇔a>b,
        • a-b=0⇔a=b,
        • a-b⇔a
      • (3)求商比较法：设a 、b 是两正实数，
      • (4)绝对值比较法：设a、b 是两负实数，则|a|>|b|⇔a
      • (5)平方法：设a、b 是两负实数，则a²>b²⇔a
  • 五 、算术平方根有关计算(二次根式)
    • 1.含有二次根号“ √ ”;被开方数a 必须是非负数。
    • 2.性质：
      • (1)(√a)²=a(a≥0)
      • (3)√ab=√a·√b(a≥0,b≥0)(√a·√b=√ab(a≥0,b≥0))
    • 3.运算结果若含有“√a” 形式，必须满足：
      • （1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
      • （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
  • 六 、实数的运算
    • 1.六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方
    • 2.实数的运算顺序
      • 先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
    • 3.运算律
      • 加法交换律
        • a+b=b+a
      • 加法结合律
        • (a+b)+c=a+(b+c)
      • 乘法交换律
        • ab=ba
      • 乘法结合律
        • (ab)c=a(bc)
      • 乘法对加法的分配律
        • a(b+c)=ab+ac

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• 第三章 位置与坐标
  • 一、在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。
  • 二、平面直角坐标系及有关概念
    • 1.平面直角坐标系
      • 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；x 轴 和y 轴统称坐标轴。它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
    • 2.为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
      • 注意：x 轴 和y 轴上的点(坐标轴上的点),不属于任何一个象限。
    • 3.点的坐标的概念
      • 对于平面内任意一点P,过点P分别x 轴、y轴向作垂线，垂足在上x 轴、y轴 对应的数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对(a,b)叫做点P的坐标。
      • 点的坐标用(a,b)表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“,”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，(a,b)和(b,a) 是两个不同点的坐标。
      • 平面内点的与有序实数对是一一对应的。
    • 4.不同位置的点的坐标的特征
      • (1)各象限内点的坐标的特征
        • 点 P(x,y)在第一象限⇔ x>0,y>0
        • 点 P(x,y)在第二象限⇔x0
        • 点P(x,y) 在第三象限⇔x
        • 点P(x,y) 在第四象限⇔ x>0,y
      • (2)坐标轴上的点的特征
        • 点P(x,y) 在x 轴上⇔ y=0,x为任意实数
        • 点P(x,y) 在y 轴上⇔x=0,y为任意实数
        • 点P(x,y) 既在x 轴上，又在y 轴上⇔ x,y同时为零，即点P 坐标为(0,0)即原点
      • (3)两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
        • 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线(直线y=x)上⇔x 与y相等
        • 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数
      • (4)和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
        • 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。
        • 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。
      • (5)关于x 轴 、y 轴或原点对称的点的坐标的特征
        • 点P 与点P’关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P(x,y) 关于x 轴的对称点为P’(x,-y)
        • 点P 与点P’关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P(x,y)关于y轴的对称点为P’(-x,y)
        • 点P 与点P’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数，即点P(x,y) 关于原点的对称点为P’(-x,-y)
      • (6)点到坐标轴及原点的距离
        • 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：
          • ①点P(x,y)到x 轴的距离等于|y|
          • ②点P(x,y)到y 轴的距离等于|x|
          • ③点P(x,y) 到原点的距离等于 √x²+y²
  • 三、坐标变化与图形变化的规律：
    • x×a或y×a
      • 被横向或纵向拉长(压缩)为原来的a倍
    • x×a,y×a
      • 放大(缩小)为原来的a倍
    • x×(-1)或y×(-1)
      • 关于y轴或x轴对称
    • x×(-1),y×(-1)
      • 关于原点成中心对称
    • x+a或y+a
      • 沿x轴或y轴平移a个单位
    • x+a,y+a
      • 沿x轴平移a个单位，再沿y轴平移a个单位

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• 第四章 一次函数
  • 一、函数：
    • 一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y, 如果给定一个x 值，相应地就确 定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量。
  • 二、自变量取值范围
    • 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式取到全体实数),分式(分母不为0)、二次根式(被开方数为非负数)、实际意义几方面考虑。
  • 三、函数的三种表示法及其优缺点
    • 1.关系式（解析）法
      • 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式(解析)法。
    • 2.列表法
      • 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
    • 3.图象法
      • 用图象表示函数关系的方法叫做图象法。
  • 四、由函数关系式画其图像的一般步骤
    • 1.列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
    • 2.描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
    • 3.连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
  • 五、正比例函数和一次函数
    • 1.正比例函数和一次函数的概念
      • 一般地，若两个变量x,y间的关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的形式，则称y 是 x 的一次函数(x 为自变量，y 为因变量)。
      • 特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0 时(即y=kx)(k为常数，k≠0), 称y是 x的正比例函数。
    • 2.一次函数的图像：
      • 所有一次函数的图像都是一条直线
    • 3.一次函数、正比例函数图像的主要特征：
      • 一次函数y=kx+b 的图像是经过点(0,b)的直线；正比例函数y=kx的图像是经过原点(0,O)的直线。
      • 一般地，正比例函数y=kx 有下列性质：
        • (1)当k>0 时，图像经过第一、三象限，y随 x的增大而增大；
        • (2)当k时，图像经过第二、四象限，y随 x的增大而减小。
    • 5.一次函数的性质
      • 一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：
        • (1)当k>0 时，y随x的增大而增大
        • (2)当k 时，y随 x的增大而减小
    • 6.正比例函数和一次函数解析式的确定
      • 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx(k≠0 )中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b(k≠0) 中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
    • 7.一次函数与一元一次方程的关系：
      • 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0(k、b为常数，k≠0)的形式。而一次函数解析式形式正是y=kx+b(k 、b为常数，k≠0) 。当函数值为0时，即kx+b=0 就与一元一次方程完全相同。
      • 结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0(k、b为常数，k≠0)的形式。所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值。
      • 从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b 确定它与x 轴交点的横坐标值。

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• 第五章 二元一次方程组
  • 一.二元一次方程
    • 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
  • 二.二元一次方程的解
    • 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
  • 三.二元一次方程组
    • 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
  • 四.二元一次方程组的解
    • 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
  • 五.二元一次方程组的解法
    • (1)代入(消元)法
    • (2)加减(消元)法
  • 六.一次函数与二元一次方程(组)的关系：
    • (1)一次函数与二元一次方程的关系：
      • 直 线y=kx+b上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx-y+b=0 的 解
    • (2)一次函数与二元一次方程组的关系：
      • • 当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；
        • 当函数图象(直线)平行，即无交点时，说明相应的二元一次方程组无解。

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• 第六章 数据的分析
  • 一.刻画数据的集中趋势(平均水平)的量：平均数、众数、中位数
  • 二.平均数
    • 2.加权平均数：
  • 三.众数
    • 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
  • 四.中位数
    • 一般地，将一组数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两 个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。

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• 第七章 平行线的证明
  • 一 、定义与命题
    • 1.定义
      • 一般地，能明确指出概念含义或特征的句子，称为定义。
      • 定义必须是严密的。一般避免使用含糊不清的术语，例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现。
    • 2.命题
      • 可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题。正确的命题称为真命题，错误的 命题称为假命题。
    • 3.公理
      • 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并且把它们作为判断 其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。
    • 4.定理
      • 有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的， 并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。
    • 5.证 明
      • 根据题设、定义以及公理、定理等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否正确， 这样的推理过程叫做证明。
  • 二 .为什么它们平行
    • 1.平行判定公理：同位角相等，两直线平行。(并由此得到平行的判定定理)
    • 2.平行判定定理：同旁内互补，两直线平行。
    • 3.平行判定定理：同错角相等，两直线平行。
  • 三 .如果两条直线平行
    • 1.两条直线平行的性质公理：两直线平行，同位角相等；
    • 2.两条直线平行的性质定理：两直线平行，内错角相等；
    • 3.两条直线平行的性质定理：两直线平行，同旁内角互补。
  • 四 .三角形和定理的证明
    • 1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。
    • 2.一个三角形中至多只有一个直角。
    • 3.一个三角形中至多只有一个钝角。
    • 4.一个三角形中至少有两个锐角。
  • 五 .关注三角形的外角
    • 三角形内角和定理的两个推论：
      • 推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
      • 推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的肉角 号