导图社区 中学数理统计知识体系
这是一篇关于中学数理统计知识体系的思维导图，主要内容包括：一、核心统计量，二、数据可视化工具，三、统计调查方法。
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中学数理统计知识体系
一、核心统计量
1. 集中趋势类
平均数
算术平均数
一组数据的和÷数据个数
例：求5、7、9的平均数
计算过程：(5+7+9)÷3=7
例：求一组学生数学成绩的平均分
计算过程：将所有学生的成绩相加后除以学生人数
适用于数值大小具有同等重要性的情况
加权平均数
考虑各数据权重的平均
例：考试成绩按科目占比计算总分
假设数学占总成绩的50%，英语占30%，物理占20%
计算过程：(数学成绩×0.5) + (英语成绩×0.3) + (物理成绩×0.2)
适用于不同数据的重要性不同的情况
中位数
将数据排序后中间位置的数
数据个数为偶时取中间两数的平均
例：一组数据5、7、9、11
中位数为(7+9)÷2=8
例：一组数据5、7、9、11、13
中位数为9
不受极端值影响，反映数据分布的中心位置
众数
一组数据中出现次数最多的数
可多个
例：一组数据5、7、7、9、9、9、11
众数为9
无众数，因为所有数出现次数相同
反映数据的常见值或最典型值
2. 离散程度类
方差
各数据与平均数差的平方的平均
反映数据波动，方差越小越稳定
例：计算一组数据的方差
计算每个数据与平均数的差的平方
将所有差的平方求和后除以数据个数
方差的计算公式：σ² = Σ(xi μ)² / N
其中，σ²是方差，xi是每个数据点，μ是平均数，N是数据个数
标准差
方差的算术平方根
单位与原数据一致
例：计算一组数据的标准差
先计算方差，然后取方差的平方根
标准差的计算公式：σ = √σ²
其中，σ是标准差，σ²是方差
反映数据的离散程度，标准差越大，数据越分散
极差
一组数据中最大值与最小值的差
反映数据的变动范围
极差为13-5=8
极差为11-5=6
易受极端值影响，是数据波动的一个简单度量
二、数据可视化工具
条形图
用长方形高度/长度表示数据数量
适合对比不同类别数据
例：展示不同班级的平均成绩
每个班级用一个条形表示，条形的长度对应平均成绩
例：展示不同品牌的市场份额
每个品牌用一个条形表示，条形的长度对应市场份额百分比
条形图的种类
水平条形图
条形水平排列，便于阅读较长的类别名称
垂直条形图
条形垂直排列，常见于展示时间序列数据
折线图
用线段连接数据点
适合展示数据的变化趋势
例：展示某商品的月销售额变化
横轴表示时间，纵轴表示销售额，数据点用线段连接
例：展示某地区人口增长趋势
横轴表示年份，纵轴表示人口数量，数据点用线段连接
折线图的种类
线性折线图
数据点均匀分布在横轴上，适用于时间序列数据
非线性折线图
数据点非均匀分布在横轴上，适用于非时间序列数据
扇形图
用圆内扇形面积表示各部分占总体的比例
适合展示占比关系
例：展示某公司各产品的市场份额
每个产品占总体的百分比对应一个扇形区域
例：展示调查问卷中不同选项的选择比例
每个选项的选择比例对应一个扇形区域
扇形图的种类
普通扇形图
所有扇形加起来等于一个完整的圆，表示100%
多层扇形图
每个扇形可以进一步划分为更小的扇形，表示更细致的分类
三、统计调查方法
抽样调查
从总体中抽取部分样本
用样本情况估计总体
节省时间/成本
例：调查全国人口的平均年龄
不可能调查每一个人，抽取部分人作为样本进行调查
例：评估某产品的用户满意度
通过调查一部分用户来估计整体用户的满意度
简单随机抽样
总体中每个个体被抽到的概率相等
例：抽签
每个人的名字写在签上，随机抽取
例：使用随机数表
从随机数表中随机选择数字，对应总体中的编号进行抽样
抽样方法的种类
分层抽样
将总体分成不同的层次，每个层次内部进行随机抽样
系统抽样
按照一定的规则（如每隔固定数量抽取一个样本）进行抽样
整群抽样
将总体分成若干群组，随机抽取几个群组，调查群组内的所有个体
总体估计
通过样本的统计量推断总体的对应特征
例：用样本平均数估计总体平均数
从总体中抽取样本，计算样本平均数，用它来估计总体平均数
例：用样本比例估计总体比例
从总体中抽取样本，计算样本中某特征的比例，用它来估计总体中该特征的比例
例：用样本方差估计总体方差
从总体中抽取样本，计算样本方差，用它来估计总体方差
估计方法的种类
点估计
用一个具体的数值来估计总体参数
区间估计
给出一个区间范围，认为总体参数在这个区间内，伴随一定的置信水平
