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数量关系
这是一篇关于数量关系的思维导图，主要内容包括：代入排除法，倍数特定法，方程法，工程问题，行程问题，经济利润问题，最值问题，排列组合与概率问题，容斥问题，统筹分配问题，溶液问题，十字交叉法，等差数列，平方数问题，余数问题，周期循环，日期星期问题，几何问题，趣味杂题，考场猜蒙技巧。
编辑于2025-12-25 15:16:39- 行测
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数量关系
代入排除法
倍数特定法
整除型（基础知识）
若 A=B*C，B、C 均为整数，则 A 是 B 和 C 的整数倍
口诀
3、9看各位数字之和（个位+十位+百位+千位+万位+...)能否被3或9整除，例：12345，各位数字之和为 1+2+3+4+5=15，15 是 3 的倍数，则 12345 是 3 的倍 数；15 不是 9 的倍数，则 12345 不是 9 的倍数
4看数字末两位能否被4整除，例：12124，24 是 4 的倍数，则 12124 能被 4 整除
8看数字末三位能否被8整除，例：12124，124 不能被 8 整除，则 12124 不能被 8 整除；10200，200 能被 8 整除，则 10200 能被 8 整除
5看末位能否被5整除
因式分解
因式分解成两个互质的数，同时满足能被这两个数整除
12 拆分为 3*4，一个数如果既是 3 的倍数，又是 4 的倍数，则为 12 的倍 数
因式分解的两个数必须互质，3 和 4 之间除了 1 之外没有其他约数，2 和6 除了 1 之外还可以约去 2；如 18 是 2 的倍数，也是 6 的倍数，但 18 不是 12的倍数
常用于 6、12、18
拆分
常用于 7、11、13
一个数=接近且明显能被整除±小数字，看小数字，例：427，427=420+7，420 和 7 都是 7 的倍数，则 427 是 7的倍数；427=440-13，440 是 11 的倍数，13 不是 11 的倍数，则 427 不是 11 倍数。
余数型
通过“多退少补”：多几个，减掉；少几个，加上→转化为整除特性
平均分配，有多有少
一筐苹果，每人分 10 个，还剩 3 个……，问：苹果个数。苹果个数-3=10的倍数
一筐苹果，每人分 10 个，还缺 3 个……，问：苹果个数。苹果个数+3=10的倍数
比例型
A/B=M/N（M、N 最简比），则 A 为 M 倍数，B 为 N 倍数，A±B 为 M±N倍数
出现比例，求具体数，优先考虑倍数特性，实在不行再用方程。
比例转化的“无脑方法”
谁比谁，就谁除以谁，分母不动，分子：多→加、少→减
A比B多3/7，A/B=（3+7）/7=10/7。可以用赋值做，假设B为7，A比B多3/7，则A为10
A比B少3/7，A/B=（7-3）/7=4/7
B比A多3/7，B/A=（7+3）/7=10/7
M比N少5/8，M/N=（8-5）/8=3/8
方程法
普通方法：未知数个数=方程个数
设未知数
设小不设大。比如甲=3 乙，设乙为 x，甲为 3x
设关联多。比如 A 与 B 有关系，A 与 C 有关系，A 与 D 有关系，设关联比较多的 A 为未知数
设比例数。比如甲/乙=5/7，设甲为 5x，乙为 7x
求谁设谁。比如求甲，尽量设甲；求乙，尽量设乙；可以避免掉坑
不定方程：未知数个数>方程个数
一个不定方程，比如 3x+4y=a，利用数字特性
尾数特性
ax+by=M，当 a 或 b 尾数是 0 或 5 时，考虑尾数
例：37x+20y=271，x=？（x、y 均为正整数） A.1 B.3 C.2 D.4 答：y 的系数尾数为 0，20y 的尾数为 0，271 的尾数为 1，则 37x 的尾数为1；排除 A、C、D 项；对应 B 项。
奇偶特性
ax+by=M，当 a、b 恰好一奇一偶时，考虑奇偶特性（从偶系数入手）
例：3x+4y=25，x=？（x、y 均为正整数） A.2 B.3 C.4 D.5 答：x、y 的系数一奇一偶，可以利用奇偶特性。从偶系数入手，4y 是偶数，25 是奇数，则 3x 是奇数，排除 A、C 项；剩二代一，代入 B 项，x=3，y=4，满足条件，对应 B 项
倍数特性
结论：A+B=C，如果其中两个数都有 N 因子，则另外一个一定有 N 因子
ax+by=M，当 a 或 b 与 M 有公因子时，考虑倍数特性
7x+3y=60，y 最大为多少？（x、y 均为正整数） A.12 B.13 C.16 D.18 答：3y、60 有 3 因子，则 7x 有 3 因子，7 中没有 3 因子，则 x 是 3 的倍数，x 可能为 3、6、9、……；问 y 最大，尽量让 x 小，x 最小为 3，解得 y=13，对应 B 项
直接代入选项
不定方程组
根据未知数确定类型。比如 3x+4y+5z=a、5x+3y+7z=b
必须为整数
消元
利用倍数特性
不必须为整数
赋其中一个未知数为0
计算出其他未知数
工程问题
给完工时间型
只给了多个（2个以上）的完工时间
方法
先赋总量（完工时间的公倍数）
再算效率=总量/时间
根据工作过程列式子或方程
给效率比例型
给了效率比例
方法
先赋效率（满足比例即可）
再算总量=效率*时间
根据工作过程列式子或方程
给具体单位型
设未知数，找等量关系列方程
行程问题
普通行程
路程=速度×时间（s=v×t）
火车过桥
完全通过桥：路程=桥长+车长
完全在桥上：路程=桥长-车长
平均速度
平均速度=总路程÷总时间
应用环境：等距离、直线往返、上下坡往返
等距离平均速度=2v1v2/(v1+v2), 以速度v1 、速度v2 走的路程相等，才可称为等距离
相对形成
相遇
甲乙两人从 A、B 两地同时出发，相向而行。假设甲的速度为v1，乙的速度为v2 ，二人行走的时间为 t，则 S 相遇 =v1 *t+ v2 *t。
追及
S 追及 =（V 1 -V 2 ）*T，S 追及为两者初始相距的距离。
多次运动
环形第n次相遇：S和=n圈=v和×t遇
环形第n次追及：S差=n圈=v差×t追
线形两端出发第n次相遇：S总=（2n-1）s单程=V和×t遇
线形一端出发第n次相遇：S总=2ns单程=V和×t遇
流水行船
顺水
s=（V船+V水）×t顺
V顺=V船+V水
逆水
s=（V船-V水）×t逆
V逆=V船-V水
V 船 =（V 顺 +V 逆 ）/2
V 水 =（V 顺 -V 逆 ）/2
静水速度=V船
漂流速度=水速
经济利润问题
基础经济
利润=售价-成本
利润率=利润÷成本=（售价-成本）÷成本
售价=成本×（1+利润率)
总利润=单个利润×数量
打折：打几折就是按照原价的百分之几十出售
分段计算
水电费、出租车费、税费等
方法：找分段点，按标准分开，加和汇总
函数最值
特征：单价和数量此消彼长，求最大利润或总价
方法：设提价或降价次数为x，列式；两括号=0，求x1、x2；平均数时为最值
最值问题
和定最值（构造数列）
识别：和一定，求某个主体的最大值、最小值，此消彼长。志+照=100，和一定，要使志最多，则照最少，志=100，照=0；和一定，要使志最少，则照最多，志=0，照=100
方法
定位：确定求谁的什么值
反向：若求最大，其他尽可能小，从最小的开始构造；若求最小，其他尽可能大，从最大的开始构造
求解：若结果不为整数，反向取整，最大为7.2，向下取整取7；最小为7.2，向上取整取8
多集合反向构造
识别：都（同时、共同）……至少……
常规方法
反向（喜欢的反向是不喜欢）→求和→作差
最不利
至少...才能保证...
保证数=最不利数+1
最不利的理解：不够，全给你；够，少给一个气死你
排列组合与概率问题
排列组合
基础概念
分类与分步
分类（要么...要么...)：加法原理，相加→每一类都可以完成
分步（先...后...)：乘法原理，相乘→都发生才算完成
排列与组合
有序排列、无序组合。“序”指从一堆元素中挑取元素的顺序，体现调换顺序后对结果有无影响，调换顺序后对结果有影响为“有序”，调换顺序后对结果无影响为“无序”。
排列
与顺序有关，用 A 表示。比如站排、表演节目等。
A（n,m）=从 n 开始往下乘 m 个数。 例：A（10,4）=10*9*8*7，从下角标 10 开始，依次乘以比前面数小 1 的数，乘 4 个数。
组合
与顺序无关，用 C 表示。比如选人凑成名单、组成学习小组等。
C（n,m）=A（n,m）/A（m,m）=从 n 开始往下乘 m 个数/从 m 开始往下乘 m 个数。例：C（10,4）=A（10,4）/A（4,4）=（10*9*8*7）/（4*3*2*1）。
判断标准
从主题当中任意的挑出两个，调换顺序，对结果有影响，与顺序有关（A）；对结果无影响，与顺序无关（C）。
C（7,3）=A（7,3）/A（3,3）=（7*6*5）/（3*2*1）=35， C（7,4）=A（7,4）/A（4,4）=（7*6*5*4）/（4*3*2*1）=35， 发现 C（7,3）=C（7,4）。 当下角标相同时，如果两个组合数的上角标之和等于下角标，则结果相同。 比如 C（10,4）=C（10,6）、C（100,98）=C（100,2），当需要计算 C（100,98）时，可以计算C（100,2）。
全部减不符
正面思考情况数较多，从反面思考
至少、不能
经典题型
枚举法
一般情况下，情况数≤10，考量枚举法
捆绑法
要相邻
例：李雷、韩梅梅、路人甲、路人乙、路人丙。
（1）五人站排，李雷和韩梅梅挨着，有几种情况？ 答：出现“挨着”，为相邻问题，考虑捆绑法。先将李雷、韩梅梅捆绑，站排存在顺序，为 A（2,2）=2；捆绑之后当成一个整体，再与路人甲、路人乙、路人丙站排，相当于 4 个人站排，为 A（4,4）。先捆再排，分步用乘法，所求=2*A（4,4）。
（2）五人站排，路人甲、路人乙、路人丙在同一个班级，要求同一个班级的学生站一起，有几种情况？ 答：出现“站一起”，为相邻问题，考虑捆绑法。将路人甲、路人乙、路人丙捆绑，站排存在顺序，为 A（3,3）；捆绑之后当成一个整体，再与李雷、韩梅梅站排，相当于 3 个人站排，为 A（3,3）。先捆再排，分步用乘法，所求=A（3,3）*A（3,3）。
出现“挨着”，为相邻问题，考虑捆绑法，先捆再排，分步用乘法。捆绑时，需要考虑捆绑之后内部的顺序；排列时，需要注意题目要求
插空法
不相邻
例：李雷、韩梅梅、路人甲、路人乙、路人丙，五人站排，李雷和韩梅梅不挨着，有几种情况？ 答：先安排没有要求的路人甲、路人乙、路人丙，A（3,3）；三人站好后产生 4 个空，从中选择 2 个空放李雷和韩梅梅，李雷和韩梅梅调换顺序结果不同，为A（4,2）；先排再插，用乘法，A（3,3）*A（4,2）。
先把没有要求的排好，注意是否需要排序
定序问题
又称无序问题
全排列/没有顺序的全排列
相同元素分配（插板法）
必须是相同元素，必须是至少一个
平均分摊
平均分摊需要注意后续是否有顺序，若知识单纯分摊，需要把人为产生的顺序除掉，有n堆数量相等除去
若后续有顺序，可将“平均分n堆”、”再为n堆有顺序的选择“两步合并，直接有顺序的选择元素即可。
环形排列
n个元素环形排列，共有种 排列方式
重复排列
重复排列问题各个元素之间互不干扰，若每种元素有n种选择，则m个元素共有 种选择
错位排列
比如每个厨师做一道菜，每个人都不吃自己的，有几种情况？
你拿出一只袜子，每个人都不闻自己，有几种情况？1 个元素无法错位重排。
你、我一人拿出一只袜子，每个人都不闻自己，有几种情况？只能是你闻我的，我闻你的，2 个元素有 1 种情况。
你、我、他一人拿出一只袜子，每个人都不闻自己，有几种情况？可以是你闻我、我闻他、他闻你的袜子，也可以是你闻他、我闻你、他闻我的袜子，共2 种情况。
试主要考查 4 个主体的错位重拍书为 9、5 个主体的错位重排数为 44
6 个主体的错位重排数（考试不会考）：（1+2）*3=9；44=（2+9）*4=44；则 D 6 =（9+44）*5=265。
错位重排数=前面两个错位重排数加和*前面元素个数
变形
A、B、C、D、E、F，6 个人一人拿出一只袜子，只有 A 闻自己的袜子，有几种情况？ 答：排列组合问题，只要出现确定的就不用管，相当于是 5 个人的错位重排，对应 44。
A、B、C、D、E、F，6 个人一人拿出一只袜子，只有一个人闻自己的袜子，有几种情况？ 答：6 个人中选择 1 个人闻自己的袜子，C（6,1），还剩 5 个人，不闻自己的对应 44，C（6,1）*44。
A、B、C、D、E、F，6 个人一人拿出一只袜子，有两个人闻自己的袜子，有几种情况？ 答：先选择 2 个人闻自己的袜子，没有顺序，C（6,2），剩下 4 个人错位重排，对应 9，C（6,2）*9。
概率问题
给情况求概率
例：3 个绿球、2 个黄球、5 个红球，球都一样，随便摸一个。问：摸到绿球的概率？P=满足条件的情况数/全部情况数=3/10。
公式：概率=满足/全部
正难则反，满足概率=1-不满足概率
给概率求情况
方法：分类加和、分步相乘
例：某抽奖活动：一等奖（小汽车），中奖概率为 5%；二等奖（摩托车），中奖概率为 10%；三等奖（自行车），中奖概率为 30%。
甲中奖的概率为多少？ 中一等奖、二等奖、三等奖都算中奖，分类用加法，5%+10%+30%=45%。
甲和乙同时中 2 等奖的概率为多少？ 甲中奖概率为 10%，乙中奖概率为10%，两人都要发生，为分步的过程，用乘法，10%*10%=1%。
二人同组
也叫跟屁虫题
先让一人任意选位，再考虑另一人与其同组的概率即可
比赛概型
注意输的那场在哪
容斥问题
全部人数-圈外人数=总人数-重复部分
全部人数-圈外人数=只一次+只两次+只三次
统筹分配问题
就是烧开水等待的时间可以干点别的，做出省时间的统筹规划
费用统筹
谁经济实惠就用谁。贵的能不用就不用，实在不行用它来帮个忙
策略统筹
溶液问题
溶液=溶质+溶剂
浓度=溶质/溶液
溶质=溶液×浓度
纯溶液问题，利用溶质不变列方程解决
十字交叉法
部分1 的B+部分2的B=总B
A=B/C的形式，可以将A带入十字交叉，求出C的比
等差数列
求和公式
求和公式Sn=（a1+an)/2×n
an=a1+(n-1)d
若一共是奇数项，则Sn用中间项×项数
若一共是偶数项，则Sn用中间两项的平均数×项数
平方数问题
余数问题
和同加和
若除数和余数之和相同，则被除数=除数最小公倍数的倍数+除数和余数之和
如：一个数除以5余3，除以6余2，除以7余1，则这个数=210n+8
余同加余
若余数相同，则被除数=除数最小公倍数的倍数+余数
如：一个数除以3余2，除以4余2，除以5余2，则这个数=60n+2
差同减差
若除数和余数之差相同，则被除数=除数最小公倍数的倍数-除数和余数之差
如：一个数除以5余3，除以4余2，除以3余1，则这个数=60n-2
周期循环
出现两个周期
例如：小王三天上网一次，小张每四天上网一次，12月29日两人同时上网，问下一次两人同时上网的日期。
答：两个周期最小公倍数为12，则12天后两人再次同时上网，为1月10日
要注意表述“每隔”
每个两天=每三天；每隔三天=每四天
日期星期问题
问两个日期相隔多少天；后面的日期是第多少天
先粗算，再修正，加上日期差
闰年
每隔4年出现1次，闰年的那一年有366天
非整百年：能被4整除的为闰年
整百年：能被400整除的为闰年
平年
365天
除7余1
二月为28天
闰年
366天
除7余2
二月为29天
利用休息日、工作日确定星期
一个月里，至少有28天，即周1234567至少各出现4次，余下的那几天星期数和月初相同
几何问题
平面几何
S正方形=
S长方形=ab
S平行四边形=底×高
S梯形=
S菱形=
正六边形
6个正三角形
S正六边形=
S三角形=
S等边三角形=
直角三角形
45°
边长比1：1：
30°、60°
边长比1：2：
勾股数
3、4、5
6、8、10
5、12、13
7、24、25
8、15、17
9、40、41
扇形
S=
弧长=
圆
周长=
面积=
立体几何
正方体、长方体、柱体的体积：V=底面积×高
锥体体积为柱体的1/3
球体体积=
球体表面积=
圆柱表面积=侧面积+2×底面积，其中侧面积为长方形，边长分别为地面圆周长和圆柱的高
长方体对角线长度=
正方体对角线=
公式类
规则图形直接用公式
不规则图形转化为规则图形再用公式
结论类
已知第1、2、3个...推第n个，枚举归纳找规律
连接各边种中点
三角形面积减少为1/4
四边形面积减少为1/2
圆内接三角形
直径所对角是直角
直角所对弦是直径
面积的比例
底相等则面积与高成正比
技巧类
相似三角形
对应边长比、高度比均等于相似比
面积比等于相似比的平方
几何最值
如果长度固定，圆的面积最大
周长一定的矩形，正方形面积最大
如果面积固定，越接近圆，周长越短
如果面积固定，球的体积最大
如果面积固定，正方形的周长最短
最短路径
平面反射
一般会有一条河，在河的同一侧，会有两个村庄A、B，问在河哪里架一座桥，A、B到桥距离最短。此类题目做题思路固定：做A的对称点A’，然后根据“两点之间直线距离最短”，直接链接A‘B，再补全直角三角形，就能把斜边长算出来。
立体表面
展开成平面再连线
等比缩放
长度比为1：n，面积比为1：n²，体积1：
赋值法
对于几何问题，若所求为长度、面积、体积等的比值，可采用赋值法
赋值时，选择因子多的数，最好既能被2整除，也能被3整除，常赋的值有6、12
趣味杂题
牛吃草问题
口诀:白吃牛原有草，问中数字少不了
将牛分成两类，吃掉每日生长草的叫白吃牛，一直在吃原有草的叫干活牛
步骤
求白吃牛
白吃牛=每日草生长量=
注意时间大的在前
求原有草
草场原有草量=干活牛×时间=（牛数-白吃牛）×时间
根据不同的问法进行计算
给牛问时间
时间=原有草÷干活牛
给时间问牛
牛数=原有草÷时间+白吃牛
鸡兔同笼
方法1：设未知数
方法2：数小的量=（理论值最大-实际数值）/标配分配差
方阵问题
正方形队列，设最外层人数为a人，则方阵总人数为a²，最外圈人数为4a-4，每往里一层，每层人数-2
相邻两层人数相差8人（最内层有一边长为1时，最内层与次内层相差不满足）
植树问题
两端植树，植树总棵数=路长÷间隔+1
每两棵树间距XX米，道路两端都植树
一端植树或环形植树，植树总棵树=路长÷间隔
两端不植树，植树总棵树=路长÷间隔-1
植树问题易错点：忘记道路两侧植树，求出单侧植树棵树后忘记乘2
考场猜蒙技巧
做5道，蒙5道，蒙的选没选过那个选项
比赛轮次问题
将人数写成2的n次方形式，向上取整
比赛场次问题
N支队伍单循环淘汰赛
决出冠军，需要比赛（N-1）场
决出1、2、3、4名，需比赛N场
每场比赛淘汰1支队伍，每轮比赛淘汰一半的队伍（若总数时奇数，则有轮空）
天平称假硬币问题
将硬币总数写成3的n次方形式，向上取整
容斥+最值问题
反向思考，使不符合的尽量不重合
几何计算问题
选项带入计算
直尺测量
不靠谱
问最大，选次大；问最小，选最小
选项有倍数关系，选倍数