14.3.1角的平分线的性质

这是一篇关于14.3.1角的平分线的性质的思维导图，内容详尽，涵盖教学目标、重难点、准备、过程及板书设计等多个关键教学环节。

14.3.1角的平分线的性质

• 一、教学目标
  • 1、 通过探究、推理证明并掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
  • 2、 学会用尺规作图法作一个已知角的平分线。
  • 3、 经历从“一般情形”到“特殊情形”的探究过程 ，发展观察、 归纳和逻辑推理能力。通过尺规作图和动手操作 ，理解“距离”的几何含义 ，增强几何直观。
  • 4、在探究活动中获得成功的体验 ，建立学好数学的自信心。 培养严谨的数学思维和科学态度。
• 二、教学重难点
  • 重点：角平分线的性质定理。
  • 难点：性质定理的证明及其探索过程。
• 三、教学准备
  • 教师：多媒体课件、希沃、三角板、 圆规。
  • 学生：直尺、 圆规、量角器、练习本。
• 四、教学过程
  • （一）课前翻转课堂学生的成果展示
  • （二）合作探究 ，建构新知
    • 探究活动一：角平分线上的点与角两边的数量关系
      • 1. 展示课件图形： OC是∠AOB的平分线 ， P是OC上任意一点。
      • 2. 提出问题：当OM与ON满足什么关系时 ， PM = PN？ ”（引导学生关注特殊情况 ，如 OM=ON）
      • 3.反过来思考： “若M、 N分别在OA、OB上 ，且OM=ON ，点P在∠AOB内部 ，且 PM=PN ，那么点P在哪里？”（引导学生猜想点P在角平分线上）
        • 学生活动：学生独立思考后小组交流 ，分享发现。
        • 教师引导： 这个结论为我们提供了一种作角平分线的方法。
    • 知识点一：角平分线的尺规作图
      • 1. 师生共同归纳作图步骤：
        • 第一步：在角的两边OA、OB上 ，分别截取OM=ON。
        • 第二步：在角的内部 ，找到与点M、 N距离相等的点P（即作MN的垂直平分线 ，与角内部相交于P）。
        • 第三步：以角的顶点O为端点 ，作射线OP。射线OP即为所求的角平分线。
      • 2. 两位学生演示尺规作图 ，并要求学生同步操作。
      • 3. 思考：“为什么这样作出的射线OP就是角平分线？”（巩固之前的探究结论）
    • 探究活动二：角平分线的性质
      • 1. 展示课件图形： OC是∠AOB的平分线 ， P1, P2, P3...在OC上 ，分别作OA和OB的垂线 ，垂足为D1,E1; D2,E2...
      • 2. 提出问题： “分别比较P1D1与P1E1、 P2D2与P2E2 … … ，你有什么发现？”
      • 3. 学生活动： 通过测量或逻辑推理 ，发现并猜想：**角平分线上的点到角两边的距离相等。
      • 4. 验证猜想（定理证明）： 师生共同完成： 已知：OC是∠AOB的平分线 ， P是OC上一点 ， PD⊥OA ， PE⊥OB ，垂足分别为D、 E。 求证： PD = PE。 分析证明思路： 利用全等三角形 (△OPD ≌ △OPE）进行证明。 板书证明过程： ∵ OC平分∠AOB ∴ ∠AOC = ∠BOC ∵ PD⊥OA, PE⊥OB ∴ ∠PDO = ∠PEO = 90° 在△OPD和△OPE中， ∠AOC = ∠BOC, ∠PDO = ∠PEO, OP = OP ∴ △OPD ≌ △OPE (AAS) ∴ PD = PE
      • 5. 归纳定理（强调） ：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
  • （三）应用新知 ，巩固提升（10分钟）
    • 1. 例题讲解（对应课件例题）： 题目： 在直线MN上求作一点P ，使点P在∠AOB的内部 ，且点P到射线OA和OB的距离相等。
      • 引导：到角两边距离相等的点在哪里？（在角的平分线上） 因此 ，点P应是直线MN与∠AOB的平分线的交点。
    • 2. 当堂检测：AIclass课堂作业上完成题目： 如图 ，OC是∠AOB的平分线 ，点P在OC上 ， PD⊥OA ， PE⊥OB ，垂足分别为D ， E。点F ，G分别在OA ，OB上 ， DF=EG ，连接PF ， PG。求证： PF=PG。
      • 学生尝试独立完成 ，教师巡视指导。
  • （四）课堂小结 ，梳理脉络（3分钟）
    • 引导学生回顾本节课内容： 1. 什么是角的平分线？ 2. 角平分线有什么性质？（文字语言、 图形语言、符号语言） 3. 如何用尺规作一个角的平分线？ 4. 证明一个几何命题的一般步骤是什么？
  • （五）布置作业 ，分层落实（2分钟）
    • 必做题：课本P50 ，习题14.3 ，第6 ，7题。
    • *探究性作业： 思考并尝试证明“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”（为下节课逆定理的学习做铺垫）。
• 五、板书设计 14.3.1 角的平分线的性质 一、定义：从一个角的顶点出发 ，把这个角分成两个相等的角的射线。 二、性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 已知：OC平分∠AOB ， P在OC上 ， PD⊥OA， PE⊥OB 求证： PD = PE 证明： 三、尺规作图： 1. 取OM=ON 2. 找点P使PM=PN（作MN垂直平分线） 3. 画射线OP