高中数学各分支一览

这是一篇关于高中数学的思维导图，对高中数学的各分支重新排列整理，并对各分支的用途进行简述。 主要内容包括：1.集合与映射，2.数系，3.函数与不等式，4.数列，5.几何，6.计数原理，7.概率论，8.数理统计，9.微积分初步。 适合需要对初等数学有整体认知的学生。

高中数学

• 1.集合与映射
  • 概述
    • 集合与映射是现代数学的基础语言
      • 集合研究"对象的整体"，用于描述范围、分类对象、进行逻辑推理、构造数学结构等
      • 映射是一种"规则"，用于描述从一集合到另一集合的变化和关系
    • 进入高中后，初等数学不在重点关注"数字"，转而研究"关系"——函数关系、位置关系、模型拟合关系等，这些关系都是集合与映射的延申
  • 1.1.集合与常用逻辑用语
  • 集合
    • 定义
      • 集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性。
      • 元素与集合的关系关系：属于∈，不属于∉ 。
      • 集合的表示方法：列举法、描述法、图像法等。
    • 用途
      • 规范表达所有数学结果
        • 方程的解：{x∣x2 = 1} = {−1,1}
        • 不等式的解集：{x∣x>1}
        • 函数定义域、值域、点坐标、图形上的点等
          • 开区间、闭区间、半开半闭区间
      • 按条件筛选/分类元素
        • 集合的基本运算：并集∪、交集∩、差集-、补集C
        • 全称量词、存在量词
      • 用于数学逻辑的推理
        • 必要、充分、必要不充分、充分不必要、充要、既不充分也不必要
        • A={x|p(x)}, B={x|q(x)}
      • 作为概率论和数理统计的基础
        • 古典概型里的基本事件、样本空间，都是集合。
        • 排列组合本质是：从集合里按规则选元素。
  • 映射
    • 1.3.函数的概念与性质
    • 定义
      • 设X,Y是两个给定的集合，若按照某种规则f，使得X中的每一个元素，都可以在Y中找到唯一的元素与之对应，则称这个对应规则f是集合X到集合Y的一个映射。
      • X中的元素称之为原像也称逆像，Y中的元素称之为像。
    • 用途
      • 明确什么是“两个集合之间的一种对应关系”
      • 给出函数的明确定义
      • 作为更高级的对应关系的基础
        • 点→点、向量→向量、图形→图形的映射
        • 为解析几何变换、向量、三角函数、反函数打下基础。
• 2.数系
  • 数系的发展是为了解决"我们需要什么样的数，才能描述世界"
    • 自然数→整数→有理数→实数→负数
    • 每一次数系的拓展，都是为了解决"算不下去"的问题
  • 自然数域 N
    • 解决了自然界的计数基础
    • 加法、乘法封闭，减法、除法不封闭
  • 整数域 Z
    • 解决了自然数的减法
    • 有了"方向"这一概念的明确表述
    • 加减乘封闭，除法不封闭（1÷2 不是整数）
  • 有理数域 Q
    • 解决了整数的除法（不可比的数）
    • 有了"比例"这一概念的明确表述
    • 加减乘除（除数≠0）封闭
  • 实数域 R
    • 第一次数学危机：公元前5世纪，发现边长为1的正方形，对角线长不是有理数
    • 解决了x2=2
    • 定义了实数 R = 有理数 + 无理数
    • 意义
      • 填补数轴空隙 → 令数轴连续，实数与数轴上的点一一对应
      • 加减乘除封闭，极限运算封闭
      • 让连续、极限、微积分有了数学基础
      • 数域从「离散、稀疏」变成连续完备
  • 复数域 C
    • 1.7.复数
    • 16世纪卡尔达诺公式解三次方程，部分有实数解的方程需要用到负数开平方
    • 解决了x2=-1
    • 意义
      • 数域达到代数完备，不再需要继续扩张
      • 加减乘除、开方、代数运算全封闭
      • 令所有代数方程都有解——在复数域C中，n次代数方程一定有n个复数根
      • 复数打通了代数与平面解析几何的通道，把代数运算变成了几何变换
        • 复数是代数版的向量，向量是几何版的复数
        • 几何变换包括平移、旋转、反射(对称/翻转)、缩放等等
          • 学完高中数学，可以试试用向量法描述复数的简单几何变换
          • 如z' = z · (cosq + isinq)
    • 表示式
      • 代数表示式
      • 三角表示式
    • 复数的四则运算
      • 加减乘除
      • 交换律、结合律、分配律
• 3.函数与不等式
  • 概述
    • 函数是描述变化的工具，即"映射+映射规律"，其核心不在函数式，而在于"映射规律"
      • 该规律解决了如何精确描述"变化"这一问题
    • 该工具可用于解决数值的取值范围、大小比较等问题
    • 学习函数时，应做到公式、图像、性质，三者可以相互转换
  • 1.3.函数的概念与性质
  • 定义
    • 高中用集合和映射规范定义了函数
    • 函数就是一个输入，对应一个输出的规则，写作y = f(x)
  • 描述函数
    • 表达式(即映射规律)
    • 定义域、值域
    • 函数图像
    • 性质
      • 单调性
      • 奇偶性
      • 周期性
      • 最值、极值
      • 零点
      • 渐近线
  • 基本初等函数
    • 指数函数
      • 1.4.指数函数与对数函数
    • 对数函数
      • 1.4.指数函数与对数函数
    • 幂函数
      • 1.2.一元二次函数、方程和不等式
      • 注：圆、椭圆、开口左右的抛物线、双曲线并非函数（不满足单值性），但方程可拆解为两个单值函数，这两个单值函数可以由幂函数和常函数构造。
      • 一元二次函数
        • 韦达定理
    • 三角函数
      • 1.5.三角函数
      • 2.2.直线和圆的方程
      • 匀速圆周运动的数学模型
      • 恒等变换
        • 图形法证明恒等变换公式
        • 向量法证明恒等变换公式
    • 反三角函数
    • 常数函数
  • 函数的变换
    • 使用函数图形、函数性质、函数公式，描述函数的变换：
    • 平移
    • 沿x轴、y轴缩放
    • 对称
      • y轴对称
      • x轴对称
      • y=x对称
        • 反函数
  • 等式与不等式
    • 概述
      • 函数、方程、不等式，三者均在研究函数
        • 举个例子
          • 函数f(x) = 2x + 1
          • 等式2x +1 = 5，是f(x) = 5的情况
          • 不等式2x + 1 >5，是f(x) ＞ 5的情况
      • 可以认为，函数给出了整体结构，等式在该结构上找特殊的点，不等式在该结构上找特殊的区间
        • 等式和不等式都在约束函数
    • 等式
      • 即函数的方程
      • 方程是求函数在特定条件下的取值
    • 不等式
      • 不等式用于使用函数来描述范围、限制边界、优化条件
      • 1.2.一元二次函数、方程和不等式
      • 基本不等式
        • 一元一次不等式
        • 一元二次不等式
        • 绝对值不等式(即距离的范围)
• 4.数列
  • 概述
    • 数列是按顺序排成一列的数，是定义域为正整数的特殊离散函数
    • 等差数列是离散版的一次函数、等差数列之和是离散版的二次函数、等比数列是离散版的指数函数
    • 数列的通项公式就是联系自变量与因变量的函数(映射)
    • 等差、等比等一切数列的求和，与函数的积分思路一致
      • 但不能使用积分求数列之和
      • 求和是离散面积、积分是连续面积，两者存在误差——“阶梯和曲线之间的差”
      • ，左侧是数列求和，右侧是对应函数的积分
      • 但对于单调函数（数列），可使用“数列之和一定夹在两个相邻积分之间”
        • 如在函数/数列单调递减时，有：
        • 上图中，图3的最右侧的阴影，表示1·f(1)；该值比图2中函数曲线上方的一系列近似三角形的面积之和要大
  • 2.4.数列
  • 常见数列
    • 等差数列
    • 等比数列
    • 斐波那契数列
      • F1 = 1，F2 = 1，第3项起Fn = Fn-1 + Fn-2
      • 是典型的二阶线性递推数列
    • 根据性质求数列
      • 求通项公式
      • 求数列的第x项
      • 求数列的前n项之和Sn
      • 是否有单调性、最值
      • 是否收敛到某个值（结合函数、不等式）
  • 数学归纳法
    • 是从有限到无限的逻辑桥梁
      • 对于一个与自然数n相关的命题P(n)，其证明必须包含两个独立且严谨的定理：
      • 步骤一（奠基步骤）： 命题对初始值（通常是n=1）成立。即，P(1)为真。
      • 步骤二（归纳步骤）： 假设命题对某个自然数k成立（归纳假设），能推出命题对k+1也成立。即，若P(k)为真，则P(k+1)为真。
      • 当且仅当这两步都完成时，我们才能根据自然数的良序原理断定：命题对所有自然数n都成立。
      • 需注意，数学归纳法能保证到“任意有限大”都正确，但无法保证“无穷大”时的正确性
    • 数学归纳法是证明一些有关自然数命题的有力武器
      • 数学归纳法与“自然数”的概念密不可分（来源是皮亚诺（Peano）公理的第三条）
        • 只对自然数、离散整数相关的命题有效，不能处理连续量
        • 只能证明某些命题“对所有自然数都成立”
      • 并不是什么问题都能数学归纳，因为该方法的前提是有一个预期的结果；即预先知道了结论，才能使用数学归纳法证明。
        • 只能“验证”，不能“发现”
      • 怎么获得这个预期的结果是另一个问题——一般情况下，考试时可以由题干获得预期结果。
• 5.几何
  • 概述
    • 几何是研究形状、位置、大小、关系的学科，用于解决空间关系是否成立
      • 例如
        • 点与点/线/面的距离
        • 直线是否平行
        • 直线与平面是否垂直
        • 一个形体如何变换为另一个形体
    • 方法有三种——欧氏几何、解析几何、向量几何
  • 欧氏几何
    • 概述
      • 以5条公理为基础的整个几何体系
      • 对空间想象能力和逻辑证明能力有很高要求
    • 平面几何
      • 形状
        • 线段
        • 三角形
        • 平行四边形
      • 形状间的关系
        • 相似
        • 全等
    • 立体几何
      • 1.8.立体几何初步
      • 立体图形
        • 描述立体图形
          • 数学语言描述
            • 多面体、面、棱、顶点
            • 旋转体、轴
          • 图形描述
            • 斜二测画法
            • 投影原理
        • 常见立体图形
          • 棱柱
          • 棱锥
          • 棱台
          • 圆柱
          • 圆锥
          • 圆台
          • 球
        • 简单几何体的计算
          • 表面积
          • 体积
          • 微积分初步
      • 立体图形的位置关系
        • 点、线、面
          • 点在线上、点与线的距离、点与面的距离
          • 两线平行/相交（垂直）/异面，线在面上、线与面的距离、线与面是否垂直、线与面的夹角/交点
          • 面与面的距离、面与面是否垂直、面与面的夹角/交线
          • 点共线/点构成平面、线共面/线构成平面
        • 点、线、面的位置关系
          • 用综合几何语言描述/证明平行、相交、垂直、异面、共面等
          • 用空间解析几何描述/证明平行、相交、垂直、异面、共面等
            • 向量法
  • 解析几何
    • 概述
      • 用坐标把几何变成代数、用“坐标系+代数方程”来研究几何，把几何变成了算术题。
    • 解析几何
      • 平面解析几何
        • 坐标系
          • 平面直角坐标系
          • 极坐标系
            • 极坐标系与直角坐标系的转换
        • 图形
          • 直线
            • 直线的方程
              • 点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式
              • 直线的极坐标方程
              • 直线的参数方程
                • 注：构造参数方程的难度在于找到好用的参数，令方程与参数产生对应的几何关系
                • 直线的参数方程，是通过从函数图像上任意一点向坐标轴作垂线，再由参考点(a，b)向该垂线作垂线，从而构造出一个直角三角形，记该点到参考点的距离为参数t、该点与参考点连线的倾斜角θ，来构造参数方程的。
                • 直线的参数方程，参数的意义不如圆和椭圆的明确。
            • 倾斜角与斜率
              • 倾斜角范围、斜率公式
            • 直线的位置关系
              • 与直线
                • 平行
                  • 平行线距离
                • 垂直
                  • 垂直判定
                • 相交
                  • 焦点坐标
              • 与点
                • 两点确定直线、点+斜率确定直线等
                • 点与直线距离
          • 圆
            • 圆的方程
              • 标准方程
              • 一般方程
              • 圆的极坐标方程
            • 单位圆和三角函数的关系
              • 圆的参数方程
            • 圆的位置关系
              • 与直线相离、相切、相交
              • 与圆外切、外离、相交、内切、内含
            • 弧度制与角度制转换
          • 2.2.直线和圆的方程
          • 圆锥曲线
            • 椭圆
              • 定义（到两定点距离和为定值）
              • 椭圆的方程
                • 标准方程
                • 参数方程
              • 几何性质：长轴、短轴、焦点、焦距、离心率、a、b、c 关系
            • 双曲线
              • 定义（到两定点距离差的绝对值为定值）
              • 标准方程
              • 几何性质：实轴、虚轴、焦点、渐近线、离心率、a、b、c 关系
            • 抛物线
              • 定义（到定点与定直线距离相等）
              • 四种标准方程
              • 几何性质：焦点、准线、p 的意义
            • 圆锥曲线的焦点
              • 曲线上任意一点，到某些特殊点的距离满足某种关系——该特殊点即为焦点。
              • 椭圆
                • 平面上到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹，这两个点即为焦点
                • 当两个焦点重合时，椭圆变成了圆
                  • 说明焦点可以用来决定曲线的形状
              • 双曲线
                • 平面上到两个定点的距离之差为常数的点的轨迹，这两个点即为焦点
              • 抛物线
                • 到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹
                • 从焦点发出的光线，反射后会变成平行光
            • 2.3.圆锥曲线的方程
      • 空间解析几何
        • 一般用向量法做空间解析几何题目，但时不时会出一道椭球、马鞍面等的题目可以用代数方程做
    • 向量代数
      • 概述
        • 也叫"向量几何"，可以用向量代替函数方程
          • 用向量描述形状、位置、方向
          • 用向量对形状进行变换
            • 平移
            • 旋转
            • 对称
            • 缩放
            • 投影
          • 证明形状与形状的位置关系
            • 平行
            • 相交
              • 垂直
            • 异面
        • 向量是一套可用于解析几何、线性代数和物理等领域的工具，熟练运用向量可简化解析几何的计算
      • 向量是既有大小又有方向的量，有独立的运算系统（加减、数乘、数量积）
      • 平面向量
        • 1.6.平面向量及其应用
        • 向量的运算
          • 加法运算
            • 平行四边形法则
            • 交换律
            • 结合律
          • 减法运算
          • 数乘运算
            • 分配律
          • 数量积
            • 数量积不存在逆运算（例如物理中，两个不同方向的力形成的合力是唯一的，但将该合力分解时则有无穷多种组合方法）
            • 交换律、分配律
        • 用坐标表示向量
          • 向量与平面解析几何的关系（向量是一种平面解析几何求解的工具）
          • 正弦定理、余弦定理
        • 用两个不共线的向量构建平面坐标系下的其他向量
      • 空间向量
        • 2.1.空间向量与立体几何
        • 向量的运算
          • 加法运算
            • 交换律
            • 结合律
          • 减法运算
          • 数乘运算
            • 分配律
          • 数量积
            • 交换律、分配律
        • 用坐标表示向量
          • 三维空间中的余弦定理
          • 空间两点间的距离公式
        • 用空间向量表示直线、平面的位置关系
          • 空间中点 、 直线和平面的向量表示
          • 两直线平行、直线平行于平面、两平面平行
          • 两直线垂直、直线垂直与平面、两平面垂直
          • 点到直线/平面的距离、直线到平面的距离、两平行平面距离
          • 两向量的夹角、向量与平面的夹角、两平面的夹角
        • 用三个不共面的向量构建立体坐标系下的其他向量
• 6.计数原理
  • 概述
    • 计数原理按道理既不属于概率，也不属于数理统计；高中阶段，它是服务于概率论中古典概型、二项分布等(分布类型为"离散型"的概率模型)的计算工具
    • 计算古典概型、二项分布、超几何分布等
      • 总体有多少种情况
        • 即“排列”
        • 在高中阶段，古典概型的计算，完全依赖计数原理
      • 符合条件的情况数
        • 即组合
  • 2.6.计数原理
  • 分类加法计数原理
    • 完成一件事有两类(方法互不相同的)不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N = m + n种不同方法
    • 为计数原理的底层逻辑，后续可推导出排列、组合
  • 分步乘法计数原理
    • 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N = m × n种不同方法
  • 排列 A
  • 组合 C
  • 二项式定理
    • 二项式定理将幂运算展开为多项式，在初等数学中，其作为高次展开和组合计数的工具
    • 性质
      • 对称性
      • 递减性与最大值
      • 各二项式系数的和
    • 二项式定理连接了初等数学和高等数学
      • 幂函数求导
      • 泰勒公式——把任意光滑的函数展开成“无穷多项的二项式”
      • 概率论中的二项分布
• 7.概率论
  • 概述
    • 概率论是已知事件发生的规律，研究出现某个结果的概率
      • 这个"事件发生的规律"也算要学习的——就是本节的"概率模型"
      • 高中数学一般研究“某个事件的条件概率”，研究对象是事件
      • 大学概率论则研究“随机变量的条件分布”，研究对象是整体分布结构(分布函数)
    • 即在已知概率模型的前提下，随机结果的性质是什么
      • 概率、概率分布
      • 数据特征
        • 数学期望
        • 方差
        • 等等
    • 是数理统计的理论基础
  • 1.10.概率
  • 事件
    • 定义
      • 进行随机试验
        • 可以重复做、结果事先知道、但每次不确定
      • 随机试验所有可能出现的基本结果构成的集合被称为"样本空间"
      • 事件是某些可能结果构成的集合，是样本空间 Ω 的一个子集。
        • 样本点（基本事件）是试验的每一个最基本、不能再拆的结果
        • 将所有样本点放在一起，就是全集 Ω
    • 描述事件发生的可能性
      • 对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示
    • 事件的类型
      • 必然事件
      • 随机事件
      • 不可能事件
    • 事件的关系
      • 包含 A⊆B
      • 和事件/并事件 A∪B
      • 交事件/积事件 A∩B
      • 互斥/互不相容 A∩B = ∅
        • 不能同时发生
      • 互为对立 A∩B = ∅，且A∪B = Ω
        • 不能同时发生，且必须发生一种
      • 对任意两个事件A、B，有P(AB) = P(A)P(B)，则两事件相互独立
    • 事件/概率的性质
      • 对任意的事件A，都有P(A) ≥ 0
      • 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0
        • 古典概型中，概率为1的事件一定发生，概率为0的事件一定不发生
        • 几何概型中，概率为1的事件不一定发生，概率为0的事件不一定不发生；如将一段绳子随机分成三段，由这三段构成等边三角形的概率为0，但存在这种情况。
      • 如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B) = P(A) + P(B)
      • 如果事件A与事件B互为对立事件，则P(B) = 1 - P(A)，P(A) = 1-P(B)
        • 考试最常用；比如一枚导弹命中目标的概率是0.2，求3枚导弹命中目标的概率，可转换为1-P(3枚导弹都没命中)
      • 如果A⊆B，则P(A) ≤ P(B)
      • 设A、B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
  • 概率模型
    • 定义
      • 概率模型用于抽象现实世界中的随机事件(即样本空间Ω)，并对这类事件的子事件(即事件P)的概率进行研究
        • 用概率模型简化现实世界的一系列随机事件，规定
          • 样本点是什么
          • 每个结果是不是等可能
          • 用个数/长度/面积/函数来计算概率
        • 这些概率模型的分类方法多样，可能相互有交集，也可能属于完全不同的领域
          • 当某伯努利概型的成功/失败概率相等时，则该概型也是古典概型
          • 当某古典概型只研究成功/失败两种可能时，则该概型也是伯努利概型
      • 2.7.随机变量及其分布
      • 要素
        • 样本空间Ω
          • 所有可能结果的集合
        • 事件(F)：样本空间的子集
        • 概率测度(P)：给每个事件赋予一个满足公理的概率值
      • 常用分类
        • 分布类型
          • 离散
            • 二项分布
              • n次伯努利试验，求事件发生的次数
            • 多项分布
              • 是二项分布的多类别推广，用于描述一次包含多个可能结果的独立重复试验中，各类别结果出现次数的联合概率。
              • 分类分布(Categorical distribution)
                • 描述一次试验中多个离散结果之一发生概率的分布。它是多项分布在单次试验（n = 1）时的特例，用于表示一个有限类别随机变量的概率模型。
                • 古典概型(离散均匀分布)
                  • 是多项分布在N=1且p_i相等时的特殊情形
                  • 超几何分布
                    • 高等数学中，超几何分布的概率和超几何函数有关，所以叫 “超” 几何。
            • 几何分布
              • 独立重复伯努利试验中直到首次成功所需的试验次数。
                • 有趣的是，几何分布（Geometric distribution）和超几何分布（Hypergeometric distribution）没叼联系
            • 泊松分布
              • 在固定时间或空间区间内某事件发生的次数，其平均发生率已知且事件独立。
          • 连续
            • 正态分布
              • 大量随机因素共同作用下的现象，如身高、考试成绩或测量误差。
            • 连续均匀分布
              • 描述完全未知或等可能的随机现象
              • 几何概型属于此列
            • 指数分布
              • 描述独立事件之间的等待时间或间隔时间
        • 样本结构
          • 独立同分布
            • 随机变量相互独立、分布完全相同(古典概型)时，某一个变量的分布
          • 条件分布
            • 在“已知某个事件或变量”的情况下，另一个变量的分布。
            • 是条件概率的推广和系统表达
        • 等等
    • 古典概型
      • 基本特征
        • 有限性
        • 等可能性
      • 随机变量及其分布
        • 研究随机事件的条件概率， 建立概率的乘法公式和全概率公式，并用它们计算较复杂事件的概率
      • 计算
        • P(A) = 事件A包含的基本事件数 / 总基本事件数
    • 几何概型
      • 基本特征
        • 无限多结果
        • 等可能性
      • 计算
        • 抽象为长度比、面积比、体积比
        • P(A) = 区域A的测度 / 总区域测度
    • 伯努利概型
      • 基本特征
        • n次独立重复试验
        • 只有成功/失败
          • 成功和失败的概率不一定相等
            • 相等时，该概型属于古典概型
            • 不等时，则不满足古典概型
      • 计算
        • 二项分布概率公式
  • 条件概率
    • 概述
      • 条件概率用于：通过已知信息，重新定义样本空间(把样本空间缩小)
      • 原本的样本空间Ω，当发生了事件A后，无需再考虑没有发生事件A的情况
        • 样本空间Ω缩小为"发生了A"这一子空间A，A Ì Ω
      • 为什么要缩小样本空间
        • 事件相互关联、相互影响
        • 当得知事件A发生后，该事件就把一部分不可能的情况排除了
        • 举个例子
          • 投2枚骰子，求2枚骰子点数的积为偶数的概率。
          • 用古典概型描述
            • 事件共6×6=36种情况
            • 点数积为偶数共27种情况(偶×奇、奇×偶、偶×偶，都是偶数)
            • 点数积为偶数的概率为27/36 = 0.75
          • 当得到了新的信息：当第一枚骰子点数为奇数，求2枚骰子点数为偶数的概率
          • 样本空间缩小
            • 事件共有3×6=18种情况
            • 只有当第二枚点数为偶数，2枚骰子点数的积为偶数
            • 点数积为偶数共9种情况
            • 点数积为偶数的概率为9/18=0.5
            • 自行用条件概率表示一下
    • 2.7.随机变量及其分布
    • 条件概率公式
      • 在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率；
      • • P(AB)表示AB同时发生的概率
    • 概率的乘法公式
      • A和B同时发生的概率 = 先发生一个，再在它的条件下发生另一个。
      • P(AB) = P(A)P(B|A)
        • 对任意两个事件A、B，若P(A)＞0
          • 因为该公式是由条件概率公式推到，所以需要P(A)＞0
      • 需要注意的是，P(AB)描述的是“A、B同时发生”这一件事
        • P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)
    • 全概率公式
      • 把一个复杂事件，拆成好几块互斥又全覆盖的 “小情况”，分别算概率再加起来。
      • • A1、A2、…、An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An = Ω
        • P(Ai) ＞ 0，i = 1, 2, …, n
        • B ⊆ Ω
        • 这叼公式最难的是看懂符号
    • 贝叶斯公式
      • 概述
        • 该公式由托马斯·贝叶斯(Thomas Bayes)与1763年发表，这哥们是个专职神学家，业余研究数学。阐述了“动态更新”的概率理论，即通过初始认知结合新证据不断修正判断。这一理念成为现代AI的底层逻辑。
        • 贝叶斯定理，通过描述“两个事件的条件概率间的关系”，阐述了“动态更新”的概率理论，即通过初始认知结合新证据不断修正判断。这一理念成为现代AI的底层逻辑。
          • 该公式用于"在有限的信息下，预测概率"，或"出现了某种现象，反推原因"
          • 与数理统计的思想一致
        • 是概率论里唯一一条能把“先验信息+观测数据”变成“后验概率”的公式。
          • 虽然贝叶斯公式是一种结合“概率模型”和“统计推断”的方法，但数理统计的研究方法并不依赖贝叶斯公式
        • 高考还算时常考到贝叶斯公式(考点为条件概率+全概率，等价于贝叶斯公式)，不过难度很低，且一般出现在选择填空或大题第一题。
      • • "P(A)"：先验概率(Prior probablity)
          • 表示在不知道现象B发生的前提下，先对"原因"P(A)成立的概率进行一个主观判断。
        • "P(B|A)/P(B)"：可能性函数(Likelyhood)
          • 表示出现了新现象 P(B|A)/P(B)，可对"P(A)"进行调整
          • 该函数是一个调整因子
            • 如果P(B|A)/P(B)>1，意味出现了现象B，使得原因A成立的可能性变大；
            • 如果P(B|A)/P(B)=1，意味着出现的现象B，对原因A成立的可能性没有帮助；
            • 如果P(B|A)/P(B)<1，意味出现了现象B，使得原因A成立的可能性减小；
          • 用于将先验概率"P(A)"（之前的主观判断）调整到更接近真实概率。
        • 可能性函数中的"P(B|A)"是条件概率（见条件概率公式）， 表示当原因A成立时，出现现象B的概率
        • "P(A|B)"表示后验概率(Posterior probability)
          • 表示出现了现象B后，对"原因A"成立的概率重新评估，调整后的概率。
      • 举个例子
        • 村里有且仅有两个小偷：贼1、贼2
        • 据派出所案底统计，贼1偷东西可能性0.2、贼2偷东西可能性0.8
        • 据观察，贼1偷盗成功概率0.6、贼2偷盗成功概率0.3
        • 如果村里今天某家被偷了一件东西，判断贼1、贼2谁更有嫌疑， 即判断两贼偷东西的可能性
        • 抽象一下
          • 0. 抽象
            • 原因 A：贼偷东西
              • 可能是贼1偷的，A1：贼1偷了，P(A1) = 0.2
              • 可能是贼2偷的，A2：贼2偷了，P(A2) = 0.8
              • P(A1) + P(A2) = 1
                • 东西被偷就2个可能，要么贼1偷了，要么贼2偷了
            • 现象 B：某家被偷了一件东西
            • 概况：在"某家被偷了一件东西"的现象下，调整贼1、贼2的偷窃可能性；并根据调整后的可能性，重新评估哪贼更有嫌疑
          • 1. 条件概率：两贼偷盗成功的可能性
            • P(B|A1) = 0.6
            • P(B|A2) = 0.3
          • 2. 某家被偷了一件东西的概率
            • 要么贼1偷、要么贼2偷，可由全概率公式计算
            • P(B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) = 0.2*0.6 + 0.8*0.3 = 0.36
          • 3. A1和A2的嫌疑
            • P(A1|B) = P(B|A1)P(A1)/P(B) = 0.6*0.2/0.36 = 1/3
            • P(A2|B) = P(B|A2)P(A2)/P(B) = 0.3*0.8/0.36 = 2/3
          • 4. 判断——贼2更有嫌疑，先把贼2抓来问问
  • 随机变量
    • 概述
      • 如果说古典概型、几何概型是概率论的起点，全概率、条件概率是概率论的“逻辑”
        • 随机变量将样本点映射为实数，连通了概率论与代数运算
        • 随机变量令概率问题可以运算、证明、数学建模
      • 随机变量将“随机试验的结果” 映射成 “实数”
      • 不同于普通函数中的自变量可以人为赋值，随机变量的值是某个随机试验的结果(或概率)
    • 建立从样本点到实数值的映射
      • 离散型随机变量
      • 连续型随机变量
    • 用函数图像描述概率
      • 概率分布列(分布列)、概率分布图
        • 函数特性
          • 均值(数学期望)、极差、方差、标准差
            • 画函数图像，观察这些值在图像上的表示方法
      • 二项分布
        • 有放回抽样 / 独立重复试验
          • 总体很大，不放回抽样可近似二项分布
          • 当次数n很大时，二项分布可近似于正态分布
        • 独立，每次抽取概率不变（或近似不变）
      • 超几何分布
        • 无放回抽样 / 有限总体里直接抽
        • 不独立，每次抽取都会影响总体，导致概率变化
        • 这个还是别用函数图像描述了
      • 正态分布
        • 也叫高斯分布，是最常见、最重要的一种连续型概率分布
          • 大量独立、微小、随机的因素加在一起，结果就会趋近正态分布。
        • 函数形状像一口钟，中间高、两边低、左右对称
          • 大部分数据集中在平均值附近
          • 离平均值越远，出现的概率越小
        • 函数由两个参数完全决定
          • 均值 μ：决定中心位置
          • 标准差 σ：决定 “胖瘦”（越胖越分散）
• 8.数理统计
  • 概述
    • 数理统计是已知(或已统计)样本数据，从数据中反推分布、规律等
    • 现实世界的生成机制通常未知或过于复杂，因此我们无法直接给出概率模型，只能通过样本数据去估计模型结构、参数以及变量之间的关系。因此需要做统计，并根据统计数据
      • 判断使用哪种概率模型
      • 求该概率模型中的相关参数，使得模型拟合数据
      • 判断事件是否相关、相关程度
      • 预测符合该模型结构的未发生的事件的概率
  • 1.9.统计
  • 抽样
    • 抽样方法
      • 简单随机抽样
        • 总体中随机、无规律地抽个体
        • 生物书提到的“标记重补法”就属于此
        • 适用于总体数量少、个体之间差别不大、乱成一团等情况
      • 分层抽样
        • 总体有明显分层，按层比例抽
        • 总体不均匀时（内部差异巨大，明显分成几类），防止有小概率样本严重偏斜，导致结果完全不准的情况
      • 系统抽样
        • 先编号，再等间隔抽
        • 适用于大而均匀的总体
        • 解决了总体较大时，简单随机抽样编号、抽签过于繁琐的问题
        • 三种抽样方法可结合使用
    • 从样本到总体
      • 总体取值规律的估计
      • 总体百分位数的估计
        • 一组数据的第p百分位数，表示该组数据中至少有p％的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)％的数据大于或等于这个值
        • 中位数就是第50百分位数
      • 总体集中趋势的估计
        • 平均数、中位数、众数
      • 总体离散程度的估计
        • 极差、方差、标准差
  • 数据分析
    • 数据的描述方式
      • 茎叶图
      • 频率分布表
      • 频数分布直方图
      • 频率分布直方图
    • 数据的数字特征
      • 衡量数据中心趋势
        • 总体均值、样本均值
        • 平均值
          • 算术平均值
          • 几何平均值
        • 中位数、众数
      • 衡量数据离散程度
        • 极差、方差、标准差
    • 变量(值)的相关关系
      • 2.8.成对数据的统计分析
      • 用于讨论现实生活中，两个变量的值是否有关系——这种关系可能不是函数那般有精确的对应关系，但这两个变量中的一个确实影响了另一个变量
      • 散点图
        • 通过观察散点图，初步判断变量是否有相关关系
          • 线性相关
            • 正相关
            • 负相关
          • 非线性相关
            • 可能是不相关
            • 也可能是其他相关关系
      • 一元线性回归模型
        • 该模型是一种用于描述样本的理想假设，其表达式Y = bx + a + e中，a、b、e均不可知——因此需要引入线性回归方程来拟合该模型
          • 确定是否为一元线性回归模型→抽取样本→用样本数据估计模型中的a、b→得到线性回归方程 →用该方程拟合模型
        • 表达式
          • Y = bx + a + e
          • E(e) = 0, D(e) = s2
          • Y关于x的一元线性回归模型
            • Y：因变量/响应变量
              • 其值虽然不能由变量x的值确定，但是却能表示为 bx+a与e的和(叠加)；前一部分由x所确定，后一部分是随机的
            • x：自变量/解释变量
            • a、b：模型的位置参数
              • a：截距参数
              • b：斜率参数
            • e：Y与bx+a之间的随机误差
            • E(e) = 0：误差的数学期望为0
              • 误差不会一直偏大，也不会一直偏小；平均下来正负抵消，等于 0
              • 所以构建线性回归方程时不用考虑该误差(系统性偏差)
            • D(e) = s2：误差的方差为常数s2
              • 误差的波动程度是均匀、稳定的。
            • 这两条是使用最小二乘法构建线性回归方程的前提条件
        • 样本相关系数 r
          • 用数字判断线性相关强弱
            • 该系数只能用于描述x和y近似成一条直线(线性相关)的程度
            • 该系数不能描述除线性相关外的其他相关关系
              • 常见相关关系还有二次相关、反比例相关、指数相关等等
              • 线性回归方程中的决定系数R2用于衡量拟合程度，该值可以用来描述其他相关关系的强弱
            • 该系数用于判断样本数据是否可以用一元线性回归方程拟合
          • • r∈[-1, 1]
            • 越接近 1：正相关越强
            • 越接近0：相关性越弱
            • 越接近 -1：负相关越强
        • 线性回归方程
          • 残差平方和 Q
            • 描述样本（观测数据）与模型（直线y = bx +a）的拟合程度（整体接近程度）
            • Q为样本点(观测值)与构建的线性回归方程中对应点(预测值)的距离的平方的和
              • 该距离成为“残差”
            • • 该值越小，说明拟合效果越好
              • 需要通过样本点求出一组a、b，使Q取得最小值
                • 使用最小二乘法求Q的最小值，从而得到a、b
            • 残差平方和Q用来估计一元线性回归模型中的D(e)
          • 决定系数 R2
            • 决定系数用于描述方程(此处为线性回归方程)拟合模型(此处为一元线性回归模型)的程度
            • 决定系数越大，表示残差平方和越小 ， 即模型的拟合效果越好
            • • 右侧分子即为残差平方和Q
          • 最小二乘法求线性回归方程
    • 变量(类)的相关关系
      • 如果是一元线性回归模型讨论的是变量值之间的关系（如人的身高与体重的关系），列联表与独立性检验则讨论两个不同类型变量之间的关系（如人的身高与骨质疏松症的关系）
      • 2.8.成对数据的统计分析
        • 2.8.3.列联表与独立性检验
      • 分类变量
        • 用数值将观察对象分到不同类别里的变量；该数值没有大小意义，只代表“属于哪一类”
          • 如将男、女分别编号为1、0，将某学校初中生按班级编号为1、2、3、4……等
        • 分类变量的统计和计算，是将某分类变量对应的频数进行统计和计算
        • 高中一般只讨论取值于{0, 1}的分类变量的关联性问题
      • 列联表
        • 一种统计表，对两个分类变量及每类变量的值进行统计
          • 每个分类变量的值只是“标签”，没有大小意义
          • 每个分类变量经由统计出的个数/频数有大小意义，可用于计算
      • 独立性检验
        • X2独立性检验
          • 对于随机样本而言，因为频率具有随机性，频率与概率之间存在误差，所以我们的推断可能犯错误——现在需要一种方法，用于描述推断正确(或错误)的概率
          • 利用列联表，进行一系列运算，判断两个分类变量是否有关系（有x%的可能有关系）
          • 方法步骤
            • 1.先进行零假设(H0)
              • 假设两分类变量相互独立、没有关系
              • 给定了两分类变量相互独立时的理论情况(理论频数)
            • 2.用列联表统计
              • 设两分类变量X、Y
                • 分类变量X对应两种情况：X0、X1
                  • P(X0) = X0所在行合计 / 总数
                • 分类变量Y对应两种情况：Y0、Y1
                  • P(Y0) = Y0所在列合计 / 总数
            • 3. 计算理论频数
              • 理论频数用于计算“每个格子本应有多少人”
                • 如果两个分类变量独立，则每一行、每一列的比例应当均匀
              • 理论频数A、B、C、D分别对应列联表中统计频次a、b、c、d
              • 理论频数 = “该情况所在列联表中的”行合计 × 列合计 ÷ 总数
                • 发生X0、Y0(即表中a格所在)的频率应当为 P(X0∩Y0) = P(X0)×P(Y0) = [(a+c)/n] ×[(a+b)/n]
                • 理论频数A = n × P(X0∩Y0) = (a+c)(a+b)/n
                • 同理求出B、C、D
            • 2.使用c2计算实际频数于理论频数的差值
              • • 好消息是卡方公式、概率值、临界值不需要背，考题一般会附带给出， 而且该考的的考题一般很简单，完全套公式即可。
            • 简化公式
            • 3.进行数据比较
              • P(c2 ≥ xa) = a
                • 符号含义
                  • a：概率值
                    • 概率值越小，则需要的临界值越大，判断是否相关越严格
                    • 该概率值是人为射灯的，如0.05表示有5%可能，0.001表示有1%可能
                  • xa：a的临界值
                    • 初等数学中，临界值由设定的概率值查表得出；但在高等数学中，临界值是由卡方分布概率密度函数(通过积分)计算出的
                    • 卡方分布的概率密度函数(不需要了解)
                      • 卡方分布是一组相互独立且服从标准正态分布的随机变量的平方和
                      • • Γ(·)为伽马函数
                        • n为自由度
                          • 2×2列联表，自由度 df = (2 - 1)×(2 - 1) = 1
                      • • n=1那条线
                        • 横轴为卡方统计量
                        • 纵轴为概率密度
                      • 临界值c2满足
                        • • 从临界值往右，曲线下(与x轴围成)的面积 = α
                          • 此时函数横坐标x为临界值cα
                          • 如α = 0.05时，对应cα = 3.841；α = 0.001时，对应cα = 10.828
              • 进行判断
                • 判断依据
                  • ①如果两分类变量独立，则统计量应当服从卡方分布
                  • ②如果两分类变量不独立，则统计量不满足卡方分布
                • 当c2 ＜ xa时，则没有重复证据推断H0不成立，可以认为X、Y独立
                  • 即c2落在概率密度函数预期位置的左侧
                  • 在假设判断依据①的前提下，数据落在了“大概率可能出现”的范围内，符合假设
                • 当c2 ≥ xa时，推断H0不成立，X、Y不独立(即X、Y有相关性)，且该推断犯错误的概率不超过α
                  • 即c2落在概率密度函数预期位置的右侧
                  • 在假设判断依据①的前提下，数据落在了“小概率可能出现”的范围内，不符假设
                    • 那就不独立咯
                  • 需要注意：有相关性不代表存在因果关系
                    • 经统计，冰淇淋的销量和溺水死亡人数相关
                    • 冰淇淋销量越高时，溺水死亡人数越多
                    • 凭经验可判断，上述分类变量没有因果关系
                    • 可能由于天气热，导致冰淇淋效率高、游泳人数多→溺水死亡人数多
• 9.微积分初步
  • 概述
    • 初等数学注意研究静态的数
      • 固定不变的数
      • 静止的图形
      • 匀速、恒定的量
      • 有限、离散、确定的关系
    • 微积分不再求解未知的数，转而求解未知的函数
      • 函数可以完整描述过程的演变
      • 变化的快慢（导数：瞬时速度、瞬时斜率）
      • 连续变化的累积（积分：曲线下面积、变力做功）
      • 无限逼近、极限过程
  • 微分初步
    • 2.5.一元函数的导数及其应用
    • 微分学的核心思想在于宏观的、全局性的变化，是由无数个微观的、局域性的“变化倾向”累积而成的。
    • 导数
      • 定义和几何意义
      • 导数的运算
        • 函数求导
          • 常函数
          • 幂函数，(xu)' = uxu-1
          • 三角函数
            • (sin x)' = cos x
            • (cos x)' = -sin x
            • (tan x)' = sec2 x
            • (cot x)' = -csc2 x
            • (sec x)' = sec x · tan x
            • (csc x)' = -csc x · cot x
            • 高中三角函数导数可能只要求掌握前四个
          • 指数函数，(ax)' = axln a (a＞0, a ≠ 1)
          • 对数函数，
        • 导函数的四则运算
        • 复合函数的导函数
      • 导数的应用
        • 通过导数判断函数的
          • 单调性
          • 极值
          • 闭区间上的最值
        • 简单实际问题
          • 面积、体积、利润的最大/最小
  • 积分初步
    • 定积分
      • 几何意义
      • 微积分基本定理（牛顿 — 莱布尼茨公式）
      • 用定积分算：简单曲线围成的面积
    • 好像没学？