函数与方程

这是一篇关于函数与方程的思维导图，包括它的概念、二分法、零点存在定理以及基本题型等内容，复习必备资料，建议收藏！

函数与方程

• 概念
  • 把使f（x）= 0的实数______叫做函数y= f（x）的零点
  • 注意∶零点不是点 ，是方程的解
  • 转化∶ 方程f（x）= 0有实数根→函数y=f（x）的图象______有交点 →函数y = f（x）有__________.
• 零点存在定理
  • 内容
    • 如果函数y = f（x）满足∶ ①在区间【a ，b】上的图象是连续不断的一条曲线内容 ②f（a）f（b）____0; 则函数y=f（x）在（a，b）上存在零点。 即存在c属于（a，b）使得f（c）=0，c就是方程f（x）= 0的根
  • 注意
    • 函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.
• 二分法
  • 对于在区间【a，b】上连续不断且f（a）f（b）<0的函数y=f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间_______________，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法
• 题型
  • 零点所在区间
    • 零点定理∶ （1）函数y=f（x）在区间【a，b】上的图象是否连续（2）是否有f（a）f（b）<0.若有，则函数y=f（x）在区间（a，b）内必有零点.
  • 零点个数
    • 解方程法 ： 令f（x）=0，则方程实根的个数就是函数零点的个数
    • 零点定理法： 利用零点定理，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数的零点个数
    • 数形结合法： 转化为两个函数的图象的交点个数问题.（画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数）
  • 由零点参数范围
    • 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围
    • 分离参数法： 先将参数分离得a=f（x），再转化成求函数f（x）值域问题加以解决
    • 数形结合法：先对解析式变形，再在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.