考研数学线性代数

这是一篇关于考研数学线性代数的思维导图，讲述了行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值、特征向量、相似矩阵、二次型等。

线性代数

• 1. 行列式
  • 1.1. 考点内容
    • 1.1.1. 行列式的概念
      • 行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，注意逆序数
      • n个元素的下标构成一个有序数组，n！个排列，大的数排在小的数前，称构成一个逆序
    • 1.1.2. 行列式的性质
      • 转置行列式值不变
      • 两行两列值互换，行列式值变号
      • 某行含有公因子k，则可提出到行列式记号外
        • 某行，列元素全为零，行列式值为零
        • 两行元素成比例，行列式值为零
      • 某行，列是两个元素之和，可把行列式拆成两个行列式之和
      • 某行k倍加到另一行，行列式值不变
    • 1.1.3. 行列式展开公式
      • n阶行列式的值等于他的任何一行（列）元素，与对应的代数余子式乘积之和
      • m为余子式
    • 1.1.4. 几个重要的便捷公式
      • 上三角，下三角
        • 主对角线元素乘积
      • 副对角线
      • 拉普拉斯展开式（分块矩阵）
      • 范德蒙展开式
    • 1.1.5. 针对n阶抽象方阵的常用公式
      • A转置的行列式等于A的行列式
    • 1.1.6. 代数余子式的性质
      • 行列式的任一行与另一行的代数余子式乘积之和为零
  • 1.2. 例题归纳
    • 1.2.1. 求行列式展开式中x的次幂的系数
      • 把行列式化简，后用行列式的定义（不同行不同列的元素的乘积），逆序数来分析
    • 1.2.2. 数字型行列式的计算
      • 一般型行列式
        • 化简后按行按列展开
        • 根据行列式的结构，把他往几个便捷的重要公式上化简，后用公式
      • 对称性行列式
        • 把每行都加到同一列，化上下三角
      • 钩型行列式
        • 逐行相加，按最后一行展开
      • 大对角线型行列式
        • 逐行相加，将其三角化
      • 证明A的行列式
        • 数学归纳法
      • 拉普拉斯和范德蒙
        • 用行列式的性质构造，然后用公式
    • 1.2.3. 抽象型行列式的计算
      • 目标矩阵两个抽象矩阵
        • 两个矩阵形式（各个元素）已知，求结合后的
          • 用行列式的运算性质，恒等变形题目已知的条件
        • 两个矩阵形式未知，但知道各个组合后的数据，无法找到目标形式的运算法则
          • 注意目标矩阵的恒等变换（E变形）
      • 目标矩阵一个矩阵
        • 知道原行列式求变换后的
          • 知道A的行列式，就可以求的A的逆，A的伴随，A的转置的行列式
        • 知道一系列变化过程求原来的
          • 求行列式的话，只需要知道相似矩阵的行列式（特征值），尽量把已知条件改写成矩阵的乘法，用相似，特征值的性质
    • 1.2.4. 行列式是否为零的判定
      • 矩阵A不可逆
      • A的秩小于N
      • Ax=0有非零解（行向量，列向量线性相关）
      • 0是矩阵A的特征值
    • 1.2.5. 代数余子式的求和
      • 对于求特定某一行或某一列
        • 构建新行列式，按照一行展开
        • 如不包含一行全部元素，可以构造若干个行列式为零（两行成比例）的行列式，按某行展开，再求目标元素
      • 对于任意行任意列的
        • 通过求出A的逆，进而求出A的伴随，找到指定元素带入即可
• 2. 矩阵
  • 2.1. 考点概括
    • 2.1.1. 矩阵的概念及运算
      • 概念
        • m*n个数排列成一个m行n列的表格，称为一个m*n的矩阵
        • 矩阵也可以看做一连串的运动动作（有方向）
      • 运算
        • 加法
          • 同型矩阵可相加
        • 数乘
        • 乘法
          • 矩阵乘法是在解方程组时引入的，对应了方程组的变换
        • 转置
      • 运算规则
        • 加法
          • 交换律
          • 结合律
        • 数乘
          • 交换律
          • 结合律
        • 乘法
          • 分配律
          • BA=/AB
        • 转置
        • 伴随阵的运算
        • 方阵的幂
      • 几种特殊的矩阵
        • 单位阵
          • 主对角元素为1，其他为0的矩阵
        • 数量阵
          • 数k与单位阵的乘积
        • 对角阵
          • 非对角元素都为零的矩阵
        • 上下三角阵
        • 对称阵
          • 满足A的转置等于A
        • 反对称阵
          • 满足A的转置等于-A，主对角元素为零
        • 正交阵
          • A的转置乘A=E
        • 初等矩阵
          • 单位阵经过一次初等变换
        • 伴随矩阵
          • 由矩阵A的行列式的左右代数余子式所构成的形如
    • 2.1.2. 可逆矩阵
      • 概念
        • AB=BA=E成立，则称A为可逆矩阵，或非奇异矩阵，B是A的逆矩阵
      • A可逆的充要条件
      • 逆矩阵的运算
      • 求逆矩阵的方法
        • 公式法
          • 求伴随矩阵
        • 初等变换法
          • 初等变换
        • 定义法
          • 概念
        • 分块矩阵
    • 2.1.3. 初等变换，初等矩阵
      • 定义
        • 初等变换
          • 倍乘
          • 互换
          • 倍加
        • 初等矩阵
        • 等价矩阵
          • A经过有限次初等变化变成的矩阵
      • 初等矩阵与初等矩阵的联系
        • • 初等矩阵的逆（2）
    • 2.1.4. 矩阵的秩
      • 概念
        • 若A中存在r阶子式不等于0，且所有的r+1阶子式若存在，均等于0，则称矩阵A的秩为r.
      • 矩阵秩的公式
    • 2.1.5. 分块矩阵
      • 概念
        • 将矩阵用若干纵线和若干横线分成许多小块，每一块称为原矩阵的子矩阵，把子矩阵看成一个元素，原矩阵称为分块矩阵。常见的有列分块，行分块
      • 分块矩阵的常用运算
  • 2.2. 例题归纳
    • 2.2.1. 矩阵概念及运算的应用
      • 矩阵相乘无交换律
      • n维列向量和与他转置的乘法
    • 2.2.2. 特殊方阵的幂
      • 对于秩等于1的矩阵
        • 可分解为两个矩阵（列向量和行向量）的乘积，进而求n次幂
      • 上三角下三角矩阵
        • 可以分解成一个B矩阵和单位阵的加减，矩阵B若干次幂后会等于0
      • 分块矩阵
        • 有明显的分块特征的矩阵，应分块对前两种情况的讨论
      • A有相似矩阵
        • 用相似矩阵的初等变换的乘积式子求
      • 无头绪
        • 简单试乘若有规律可循用归纳法
    • 2.2.3. 伴随矩阵的相关问题
      • 知道A矩阵，求其伴随，逆的伴随
      • 只A,B，和C和A,B之间的关系，求C的伴随
        • 运用伴随的公式，逆的公式即可
      • 伴随矩阵的秩
    • 2.2.4. 可逆矩阵的相关问题
      • 求实体矩阵的逆
        • 求伴随矩阵进而求逆
        • 初等行变换代换
      • 求抽象矩阵的逆
        • 条件有等式就构造AA-等于E的性质
        • 条件没有等式就假设出A-，根据AA-等于E构造方程组
    • 2.2.5. 初等变换和初等矩阵的计算
      • 涉及左行右列，初等矩阵的逆
• 3. 向量
  • 3.1. 考点概括
    • 3.1.1. n维向量的概念及运算
      • n维向量
      • 零向量
        • 所有的分量都为零的向量
      • 加法
        • 数乘
      • 内积
    • 3.1.2. 线性表出，线性相关
      • 线性表出
        • 如果两个线性表可以互相线性表出，则称两个向量组等价
      • 线性相关
      • 重要的定理
    • 3.1.3. 极大无关组，秩
      • 概念
        • 向量组中极大线性无关组中所含向量的个数r称为向量组的秩
      • 有关秩的定理
    • 3.1.4. 正交化，正交矩阵
      • 正交化
      • 正交矩阵
    • 3.1.5. 向量空间
      • 概念
        • 规范正交基
          • 向量空间中两两垂直的一组基
        • 过渡矩阵
      • 主要定理
  • 3.2. 例题归纳
    • 3.2.1. 线性相关的判别
      • 若干个实体向量相关求参数
        • 行列式为零
        • 齐次方程组有非零解
      • 已知某向量组线性无关，求向量组中向量重新结合后的向量组相关性
        • 写成两矩阵相乘的形式，求B的线性相关性
    • 3.2.2. 向量的线性表示
      • 某实体向量不可由已知向量组表示，求参数
        • 求增广矩阵的秩和原矩阵的秩
      • 某实体向量组可由已知向量组线性表示，求线性表达式
        • 增广矩阵求解，（必有唯一解，且原矩阵可化为单位阵）
      • 抽象向量组及其相关性
        • 找实例带入
        • 根据定义反证法
    • 3.2.3. 线性相关，线性无关的证明
      • 定义法
        • 设k
      • 秩
        • 两个矩阵相乘
      • 齐次方程组只有零解
        • 行列式
    • 3.2.4. 秩与极大线性无关组的计算
      • 已知矩阵求其极大线性无关组
      • 已知几个向量组的秩，求组合后向量组的秩
        • 一般根据条件确定向量组中各个向量的关系
        • 在确定目标向量组是不是线性相关
    • 3.2.5. 正交化，正交矩阵的计算
      • 求与向量组正交的向量
        • 与已知向量组分别内积为0，求齐次方程组的解
      • 求已知矩阵为正交矩阵
        • 列向量两两正交，且都是单位向量
    • 3.2.6. 向量空间的计算
      • 已知向量在一种基下的坐标，求另一组基下坐标
        • 利用向量在其自然基下的坐标在数值上是一样的
        • 向量在在不同基下乘以对应基下的坐标等于自然基下的坐标
      • 不同基下的坐标相同
      • • 这种题型不是太常见
• 4. 线性方程组
  • 4.1. 考点概括
    • 4.1.1. 克拉默法则
    • 4.1.2. 齐次线性方程组
      • 向量形式
      • 矩阵形式
      • 齐次线性方程组的解
        • 使A得列向量线性组合为零的线性组合系数
      • 齐次线性方程组的基础解系
        • 向量个数为n-r
        • 向量均为解向量
        • 向量之间组成线性无关向量组
      • 解的性质
      • 有解的条件
        • 至少有零解
        • 列（行）向量组线性无关只有零解（r(A）= n）
    • 4.1.3. 非齐次线性方程组
      • 向量形式
      • 矩阵形式
      • 非齐次线性方程组的解
        • b可由A的列向量线性表出的表出系数
      • 解的性质
      • 有解的条件
      • 通解结构
  • 4.2. 例题归纳
    • 4.2.1. 线性方程组的基本概念问题
      • 齐次方程组有非零解求参数
        • 行列式为0
        • r(A) < n
      • 非齐次方程组有解的条件
        • A的秩等于增广矩阵的秩
      • 齐次方程组已知基础解系，求目标向量组是不是解向量
        • =目标向量能不能由基础解系线性表出=非齐次方程组的解问题
      • 已知非齐次方程组的解或解的组合，求通解
        • 求特解，基础解系
    • 4.2.2. 线性方程组的求解（基础解系，通解）
      • 常规的实体的有限个齐次方程组的求解
        • 化行阶梯
          • 求基础解系
            • 求通解
      • 无限个方程组带参数的求解
        • 对方程组的系数矩阵进行初等行变换化行阶梯矩阵（注意此时参数的取值讨论，参数取值不同，方程组的解大不相同）分情况讨论后，有非零解的情况按常规的求出基础解系，求通解
      • 常规的实体的有限个非齐次方程组的求解
        • 增广矩阵
          • 行阶梯
            • 判断解的个数
              • 求解
    • 4.2.3. 基础解系
      • 已知方程组的基础解系，求另个向量组是不是基础解系
        • 基础解系的三个条件
    • 4.2.4. 齐次方程组的系数矩阵A的行向量和解向量的关系（由基础解系反求A）
    • 4.2.5. 线性方程组中系数矩阵的列向量和解向量的关系
      • 已知通解，求线性表出，或求另一个矩阵的通解
    • 4.2.6. 两个方程组的公共解
    • 4.2.7. 两个方程组的有相同的解
    • 4.2.8. 线性方程组的有关杂题
      • 几何和线性代数的结合
• 5. 特征值，特征向量，相似矩阵
  • 5.1. 考点内容
    • 5.1.1. 特征值，特征向量
      • 特征值，特征向量
      • 特征方程，特征多项式，特征矩阵
      • 特征值的性质
      • 求特征值，特征向量的方法
    • 5.1.2. 相似矩阵，矩阵的相似对角化
      • 相似矩阵
        • • 每个矩阵都有相似矩阵
      • 矩阵可相似对角化的充要条件
        • A有n个线性无关的特征向量
        • A的每一个r重特征值对应的线性无关特征向量等于该特征值的重数r
      • 相似矩阵的性质及相似的必要条件
        • 性质
        • 必要条件
          • 特征多项式相同
          • 秩相同
          • 特征值相同
          • 特征值的两个性质通用
    • 5.1.3. 实对称矩阵的相似对角化
      • 实对称矩阵
        • A的转置等于A的矩阵
      • 实对称矩阵的特征值，特征向量及相似对角化
        • 特征值全部是实数
        • 不同特征值对应的特征向量相互正交
      • 实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤
        • 解特征方程，求出全部特征值
        • 求属于每个特征值的线性无关的特征向量，若有特征值有k重根，则对应特征值必有k个线性无关的特征向量
        • 将每个特征值的特征向量正交化，（不同特征值对应的特征向量已相互正交）
        • 将全部正交后的特征向量单位化，得标准正交向量组
        • 合成正交矩阵，即为所求的正交阵Q
  • 5.2. 例题归纳
    • 5.2.1. 特征值，特征向量的求法
      • 数值矩阵特征向量，特征值的求法
        • 列出特征多项式，求出特征值即可
      • 抽象矩阵特征值特征向量的求法
        • 已知A的特征值，特征向量，利用定义求A相关矩阵的特征值，特征向量
          • • 常见的A与A的相关矩阵特征值，特征向量的关系
        • 或用特征方程求，例求幂等阵(A^2=A)，A的特征值的取值范围
    • 5.2.2. 两个矩阵有相同特征值的证明
      • 证明两个矩阵有相同的特征值，只需要证明他们有相同的特征方程
      • 利用相似，A,B相似的必要条件是有相同的特征值，反之不成立
    • 5.2.3. 关于特征向量
      • 已知a是A的对应特征值的特征向量，那a也是对应的A^2特征值的特征向量，反之不成立
    • 5.2.4. 矩阵是否相似于对角阵的判别
      • 看是否是实对称矩阵，实对称矩阵必相似于对角阵
      • 若不是，则求A是不是有n个互不相同的特征值，若有也相似
      • 若没有，但A中有r重根的特征值，对应r个线性无关的特征向量，则也相似
    • 5.2.5. 利用特征值，特征向量及相似矩阵确定参数
      • 应注意前面所提到的A的表达式的特征向量都与A相同，不同的是特征值，这样求A的逆的特征向量的时候，只需要求A的特征向量就行了
    • 5.2.6. 由特征值，特征向量反求A
      • A是非实对称阵，但可以相似对角化
      • A是实对称阵
        • 实对称的话，等于多了一个条件—不同特征值对应的特征矩阵相互正交，知道一个特征向量的话，可以根据正交求出其他的特征向量，最后根据对角化反求出A
    • 5.2.7. 矩阵相似及相似标准形
      • 已知A求对角阵
        • 没难度，求特征值，和特征向量即可
      • 已知A相似于B，求可逆阵P
        • B为对角阵
          • • 直接求
        • B非对角阵
          • • 间接通过对角阵
      • 已知A，求A的表达式的对角阵
        • • 应注意表达式只改变特征值，不改变特征向量
      • 已知实对称矩阵A，求正交阵Q
        • 相比求可逆矩阵P，多了一步正交，应注意正交阵Q，Q的逆等于Q的转置，求转置可比求逆简单多了
    • 5.2.8. 相似对角阵的应用
      • 运用到递归关系
      • 运用到n次幂上
        • • • 也可以由已知特征值，特征向量，先求A及A^n，再计算问题
• 6. 二次型
  • 6.1. 考点概括
    • 6.1.1. 二次型的概念，矩阵表示
      • 二次型的概念
        • n个变量的一个二次齐次多项式称为n个变量的二次型，系数均为实数，称为n元实二次型
      • 二次型的矩阵表示
        • 原理为变量分组的因式分解
      • 二次型的秩
        • 二次型的秩规定是A的秩，（A必须是对称阵）
    • 6.1.2. 化二次型为标准形，规范形，合同二次型
      • 二次型的标准形，规范形
        • 若二次型只有平方项，没有混合项，则称二次型为标准形（又称平方和）
        • 在二次型是标准形的前提下，平方项的系数只是1,0，-1，这样的二次型又称为规范形
      • 化二次型为标准形，规范形
        • 正交变换法
        • 配方法
        • 只能化二次型为标准形，一般不能化规范形
      • 合同矩阵，合同二次型
        • 合同
          • A,B为两个n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得C的转置乘AC=B，则称A合同与B
          • 二次型f和g称为合同二次型，显然合同变换不改变秩
        • 惯性定理
          • 对于一个二次型，做可逆线性变化成标准形，所做的可逆线性变化不唯一，标准形也不唯一，但每个标准形中的正平方项系数（正惯性系数）p都是相等的
          • 可见实对称矩阵A合同B，充要与其对应的二次型有相等的正惯性系数
    • 6.1.3. 正定二次型，正定矩阵
      • 正定
        • 对任意的非零向量X，恒有二次型>0，则称二次型f正定，对应矩阵为正定矩阵
        • 显然若f为正定矩阵，对应标准形矩阵对角元素都大于零
      • 正定的充要条件
        • A合同与E
        • A的全部顺序主子式大于零
  • 6.2. 例题归纳
    • 6.2.1. 二次型的矩阵表示
      • 展开式中系数对应于矩阵的元素之间的关系即可
    • 6.2.2. 化二次型为标准形
      • 用正交变换法
        • 写成矩阵形式
        • 求矩阵A的特征值，特征向量
        • 对有重根的特征值正交化
        • 全体正交向量单位化
        • 合成正交阵
        • 向量代换化为标准形
      • 配方法化标准形
        • 1. 从前往后对平方项陪完全平方，依次往后直至都是完全平方项，再变量代换即可
        • 2. 若二次型中无平方项，不防设混合项的两个因子为平方和的两个因式项，进而使二次型中出现平方项，再按1进行配方，直至完全平方，在变量代换
    • 6.2.3. 合同矩阵，合同二次型
      • 求两矩阵是否合同，若合同求可逆阵C
        • 用是否具有相同的正惯性系数判断合同
        • 可以用初等变换一步步化简得到
      • 用合同判断一个二次型的标准形
        • 1. 二次型合同与 一个标准形，只需求出任一个标准形，按合同的充要条件（正惯性系数相等）比较即可
        • 2. 也可直接大致判定二次型矩阵的特征值范围（正惯性系数），与已给的标准形比较
    • 6.2.4. 正定性的判断
      • 直接让判定一个具体的数值二次型的正定性
        • 1. 写出对应矩阵A，求A的全部顺序主子式大于零判断
        • 2. 也可求出A的特征值，判断是否全大于零
        • 还有其他方法，但这两种最容易理解
      • 判断有参数的二次型，参数满足什么条件时正定
        • 写出对应矩阵，求特征值全大于零的条件
        • 也可以用最原始的两个矩阵相乘的形式，其中若D可逆的话，A合同于E，所以A必正定，因此，这时只需求D可逆就好了，例
    • 6.2.5. 正定二次型的证明
      • 已知一矩阵A正定，证明A的表达式也正定
      • 已知A正定，证明A和另一矩阵B的结合表达式也正定
      • 概要
        • 证明f正定不用证对称（因为f的A自带对称属性）；证明矩阵正定，首先要证明矩阵是对称阵，因为正定是在二次型的基础上研究的。。 所以关键是证明一个二次型f正定，还是证明任意一个矩阵正定 的问题
• • • 其他方法不太好理解
• • 此题除了前面介绍的常规解法外，还有这种解法