函数、极限与连续

函数、极限与连续知识总结，包括实数、区间、邻域、六类基本初等函数、复合函数、收敛数列的性质、数列的极限等相关知识点。

函数、极限与连续

• 实数
  • 实数具有连续性
  • 有理数
    • 有理数集具有稠密性和有序性
  • 无理数
    • 没有连续性
• 区间
  • 有限区间
    • 开区间
    • 闭区间
    • 半开半闭区间
  • 无限区间
• 邻域
  • 对称、开区间
  • 邻域中心、邻域半径
• 函数
  • 函数特性 1.有界性 （有界函数） 可以有多个界 同时有上界和下届 （无界函数） 没有上界或下界都是无界函数 2.单调性 3.奇偶性（必须考虑定义域） 4.周期性（并非每个周期函数都有最小正周期） （可不考虑定义域） 函数常用表示法 1.表格法 2.图像法 3.公式法 显函数 隐函数 分段函数
  • 定义域
  • 对应法则
• 反函数
  • 关于y＝x对称
  • 写公式时 x、y互换
  • 只有严格单调的函数才有反函数
  • 互为反函数的两个函数同增同减
  • 相对于反函数，原函数称为直接函数
• 六类基本初等函数
  • 常数函数
  • 幂函数
  • 指数函数
  • 对数函数
  • 三角函数
  • 反三角函数
    • 取直接函数的一个单调区间考虑
• 复合函数
• 初等函数
  • 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤构成并可用一个式子表示的函数
  • 分段函数一般不是初等函数
• 需求函数和供给函数
  • 需求函数随价格下降而增加，是单调减少函数
  • 供给函数随价格上涨而增加，是单调增加函数
• 数列的极限
  • 如果数列有极限，则该极限是唯一的
  • 数列收敛于该极限（常数）
  • 无限接近数学表达式：|xn-a|＜e，任意Σ＞0，e无论多小
  • 如果一个数列没有极限，就称该数列是发散的
  • 任意常数数列都有极限，其极限就是常数本身
  • 存在正整数N，使得N＞n时的一切xn满足|xn-a|＜e，最小正整数N唯一
    • 因为存在N，即刻画了从第n项开始，所以落在邻域外的 点是有限个。
  • e-N论证法：limxn（n趋于正无穷）＝a 等价于，任意e＞0，存在N＞0，使n＞N时，恒有|xn-a|＜e
• 收敛数列的性质
  • 若存在正数M，恒有|xn|≤M，则该数列有界
  • 收敛数列必定有界，无界数列必定发散
  • 收敛数列的极限是唯一的
  • 夹逼准则，两个条件，，三个极限相等
  • 单调有界收敛准则：单调有界数列必有极限
  • 保号性
  • 保序性
• 函数的极限
  • 自变量趋向于无穷大时函数的极限
    • 考虑x趋于正无穷和负无穷
      • limf(x)(x趋于无穷大）＝A，等价于，任意e，存在X＞0，使得当|x|＞X时，恒有|f(x)-A|＜e，则A为函数当x趋于无穷大时的极限
        • limf(x)(x趋于无穷）＝A的充要条件时x趋于负无穷和正无穷时的极限相等且等于A
      • x趋于正无穷或负无穷时的极限称为单侧极限
  • 自变量趋向有限值时函数的极限
    • f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义
      • 函数极限与f(x)在点x0上是否有定义无关
    • limf(x)(x趋于x0)＝A，等价于，任意e，存在d，当0＜|x-x0|＜d时，|f(x)-A|＜e恒成立
• 函数极限的性质
  • 唯一性
  • 局部有界性
  • 局部保号性
  • 局部保序性
• 函数子序列的收敛性
  • 函数极限存在的充要条件：它的任意子序列的极限都存在且相等
  • 一般逆向运用：若函数的两个子序列的极限不相等，则该函数没有极限
• 无穷小
  • 极限为零的变量（函数）称为无穷小
    • 极限为除零以外任何很小的常数都不是无穷小
  • 无穷小是变量
  • limf(x)(x趋于xo)＝A的充要条件是f(x)＝A＋a，其中a是当x趋于x0时的无穷小
• 无穷小的运算性质
  • 有限个无穷小的和或差仍为无穷小
    • 无限个无穷小的和或差不一定是无穷小
  • 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
  • 常数与无穷小的乘积是无穷小
  • 有限个无穷小的乘积也是无穷小
• 无穷大
  • 无穷大是一种状态，一种变量
  • 无穷大一定是无界变量。反之，无界变量不一定是无穷大
• 极限运算法则
  • 直接极限加减乘除（除时，除数不为零）
  • 零比零型：上下同时约掉为零项
  • ∞-∞型：同分再约掉为零项
  • 非零比零型：倒数为无穷小，倒回来为无穷大
  • 无理式型：有理化（相减乘相加）
  • ∞比无穷型：上下同除最高次项（无穷小因子分出法）
  • lim[Cf(x)]＝Climf(x)（C为常数）
  • lim[f(x)]的n次方＝[limf(x)]的n次方
• 复合函数极限运算法则
• 夹逼准则与单调有界准则
  • 单调有界数列必有极限
  • 一个数列不仅有界，而且单调，则该数列一定收敛

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• 两个重要极限
• 无穷小比较的概念
  • 高阶无穷小
  • 低阶无穷小
  • 等价无穷小
    • 当x趋于0时
    • b与a是等价无穷小的充分必要条件是b=a+0（a）
    • 分子或分母是加减运算的不能直接转化为等价无穷小
  • k阶无穷小
• 函数的连续
  • x0的某一邻域有定义，x趋于x0时极限存在，极限等于在x0处的函数值
  • f(x)在x0处连续的充分必要条件是f(x）在x0处既左连续又右连续
  • 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线
  • 基本初等函数在其定义域内是连续的
• 函数的间断点
  • 满足三条件之一即有x0为间断点
    • 1.f(x)在x0处没有定义
    • 2.极限不存在
    • 有定义且极限存在，但函数值与极限不相等
  • 第一类间断点
    • x0为间断点，但左右极限均存在，则x0为第一类间断点
    • 左右极限不相等则为跳跃间断点
    • 极限与函数值不相等或x0处无定义，则为可去间断点
  • 第二类间断点
    • 左右极限至少有一个不存在
    • 常见的：无穷间断点，振荡间断点（f(x)＝sin1/x,x趋于0
• 连续函数的四则运算
  • f(x),g(x）均在x0处连续，则乘常数、两者加减乘除的新函数也在x0处连续
    • f(x),g(x)均不在xo处连续，f(x)＋g(x)不一定不在x0处连续
• 复合函数连续性
  • 求复合函数极限时，极限符号与函数符号f可以交换次序
• 初等函数连续性
  • 基本初等函数在其定义域内是连续的
  • 一切初等函数在其定义区间内都是连续的，在其定义域内不一定连续
• 闭区间上连续函数的性质
  • 在闭区间上连续的函数一定共有最大值和最小值
    • 开区间不一定
  • 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界
  • 零点定理
  • 介值定理
    • 在闭区间上连续的函数比取得介于最大值和最小值之间的任何值