第二章 地图数学基础

这是一篇关于第二章 地图数学基础的思维导图，包括：第一节地球椭球体与大地测量控制；第二节地图投影基本理论；第三节常用地图投影及其应用；第四节地图投影的选择；第五节地图定向与地图比例尺；第六节地图投影变换等内容。

第二章 地图数学基础

• 第一节 地球椭球体与大地测量控制
  • 地球椭球体
    • 大地水准面
      • 一个处于流体静平衡状态的海洋表面（无波浪、潮汐、水流和大气变化引起的扰动）延伸到大陆内部形成的一个连续封闭曲面。大地体：大地水准面所包围的形体
    • 地球椭球体
      • 大地体绕短轴（地轴）旋转而形成的一个表面光滑的椭球体，其表面称为地球椭球面
  • 地理坐标系
    • 天文经纬度
      • 天文纬度
        • 即赤纬，为观测点的铅垂线方向与平面间的夹角
      • 天文经度
        • 观测点的子午面与本初子午面所夹的二面角
    • 地心经纬度（根据原点位置的不同，分为地心坐标系统和参心坐标系统。前者的原点与地球中心重合，后者的原点与参考椭球中心重合）
      • 地心经度
        • 等同于大地经度
      • 地心纬度
        • 参考椭球面上任意一点和椭球体中心连线与赤道面之间的夹角
  • 大地坐标系
    • 1954年北京坐标系（我国大地水准面存在着自西向东明显的系统性倾斜）、1980年国家大地坐标系（椭球体参数精度高）、2000年国家大地坐标系（CGCS2000）地心、动态、三维大地坐标系，原点为地球质心
  • 高程系
    • 统一的高程基准面
  • 大地控制网
    • 平面控制网
      • 三角测量
        • 在平面上选择一系列的控制点，并建立相互连接的三角形，组成三角锁或三角网，测量一段精确的距离作为起始边，在这个边的两端点，采用天文观测的方法确定其点位（经度、纬度和方位），精确测定各三角形的内角。
      • 导线测量
        • 把各个控制点连接成连续的折线，然后测定这些折线的边长和转角，最后根据算点的坐标及方位角推算其他各点的坐标。
    • 高程控制网
      • 高程
        • 地面点到大地水准面的垂直高度
      • 水准测量
        • 借助水准仪提供的水平视线来测定两点之间的高差（建立高程控制网的主要方法）
  • 全球定位系统
    • GPS（美国）、GLONASS（俄罗斯）、Galileo（欧盟、）北斗卫星导航系统（中国）
• 第二节 地图投影基本理论
  • 地图投影概述
    • 地图投影的概念
      • 在地球椭球体和平面之间建立点与点之间的函数关系的数学方法
    • 地图投影的研究对象及任务
      • 把地球表面上的地理坐标系转化成平面坐标系，建立制图网——经纬线在平面上的表象
  • 地图投影变形及计算
    • 长度变形
      • 长度比是一个变量，不仅随点位不同而变化，而且在同一点上随方向变化而变化。任何一种投影都存在长度变形
    • 角度变形
      • 通常是计算两个最大方向角变形线所夹之角。角度变形也是一个变量，它随着点位和方向的变化而变化
    • 面积变形
      • 面积或面积变形也是一个变量，它随点位变化而变化
    • 地图投影不可避免产生变形，投影平面切在地球某点，该点既在地球面上，也在投影面上，这样的点投影后不产生任何变形。在地图投影种不变形的纬线被称为标准纬线
  • 地图投影条件
    • 等角投影条件（相似投影、正形投影）
      • 使地球面上任意点的任意两方向所夹之角投影后仍保持原夹角大小不变的投影称为等角投影
    • 等面积投影条件
      • 使某一组特定方向投影不产生长度变形，这种投影成为等距离投影。
    • 等距离投影条件
      • 是某一组特定方向投影后不产生长度变形，这种投影称为等距离投影。在经纬线正交的投影中，等距离投影只存在于方位投影、圆柱投影和圆锥投影之中
  • 地图投影分类
    • 按地图投影变形性质分类
      • 等角投影
        • 这种投影没有角度变形，但长度变形和面积变形是无法避免的
      • 等面积投影
        • 这种投影能保持面积大小不变，但角度变形大
      • 任意投影
        • 既不是等角又不是等面积的投影称为任意投影，这种投影的三种变形同时存在，地球面上的微分投影后为大小不等、形状各异的变形椭圆
    • 按正轴投影经纬线形状分类
      • 方位投影
        • 以平面作为投影面，平面与地球面构成相切或相割的位置关系，将经纬线投影到平面上。方位投影有正方位、横方位和斜方位几种不同位置的投影
      • 圆柱投影
        • 以圆柱面作为投影面，将经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展成平面而成。圆柱面可与地球相切或相割，有正圆柱、横圆柱和斜圆柱三种不同的投影
      • 圆锥投影
        • 以圆锥面作为投影面，将圆锥与地球相切或相割，将经纬线投影到圆锥面上，然后把圆锥面展开成平面而成。按圆锥面与地球面的位置关系有正圆锥、横圆锥和斜圆锥三种不同的投影
• 第三节 常用地图投影及其应用
  • 球面坐标、方位投影的概念及一般公式、透视方位投影（球心投影属于任意投影，除中心点无变形外，其他地区的变形都很大，离中心点越远，变形增长越快，到Z=90°处，长度变形、面积变形为无穷大。）、等角方位投影、等面积、等距离方位投影
  • 圆柱投影及其应用
    • 正圆柱投影适合制作迟到附近沿纬线延伸地区的地图
    • 墨卡托投影（等角正圆柱投影）：在等角正切圆柱投影中，赤道没有变形，随着纬度升高，变形迅速增大；在等角正割圆柱投影中，两标准纬线越远，变形越大。无论是切还是割投影，赤道上的长度为最小，两级的长度比为无穷大。面积是长度的平方。
    • 等角航线：地球面上一条与所有经线相交成等方位角的曲线，又名横向线、斜航线。地球面上，任意两点间最短距离是大圆航线而不是等角航线。
  • 圆锥投影及其应用
    • 等角割圆锥投影（兰伯特投影）：保持制图区域内两条纬线长度不变形，即圆锥面与地球椭球面上某两条纬线切割
  • 高斯—克吕格投影（等角横切椭圆柱投影、横墨卡托投影）：中央经线和赤道投影为平面直角坐标的XY轴；投影后无角度变形；中央经线投影后保持长度不变
  • 分带规定：6°分带（每隔经度差6°为一个投影带，全球分60个投影带。中央经线经度=L0=6n-3）；3°分带（L0=3n'）
  • 通用墨卡托投影（横轴等角割圆柱投影）
• 第四节 地图投影的选择
  • 我国编制地图常用的地图投影（等角斜方位、等面积斜方位、等距离斜方位投影、等变形线为三瓣形的伪方位投影...）
  • 各大洲的常用投影
    • 亚洲（等面积斜方位投影、等距离斜方位投影、彭纳投影）、欧洲（等面积斜方位投影、等角圆锥投影、等距离圆锥投影）、北美洲（等面积伪圆锥投影）、其他
• 第五节 地图定向与地图比例尺
  • 比例尺形式（数字式、文字式、图解式）/比例尺系统
• 第六节 地图投影变换
  • 解析变换法（反解变换法（通过中间过渡的方法，反解出原地图的地理坐标，代入新编地图投影公式求得其坐标）、正解变换法（直接求出两种投影间的直角坐标关系式）
  • 数值变化法（利用两个投影平面间互相对应的若干离散点，根据数值逼近的理论和方法来建立两个投影间的关系式）