高中数学必修一学习笔记

高中数学必修一第一章学习笔记，知识点有集合的概念、全称量词与存在量词、集合间的基本关系、充分条件与必要条件、集合的基本运算等，

第一章 集合

• 集合的概念
  • 元素与集合的含义
    • 含义
      • 元素
        • 我们把研究对象统称为元素
        • 表示
          • 常用小写拉丁字母a、b、c …来表示元素
      • 集合
        • 把一些元素组成的总体叫做集合，简称为“集”
        • 表示
          • 常用大写拉丁字母A、B、C …来表示集合
        • • 集合是一个确定的整体，暗含“全部”“全体”“所有”的含义
          • 集合也可以这样描述：具有某种属性的对象的全体组成一个集合
      • • 集合中的元素可以是数、点、图形、人或抽象事物等。如唐僧师徒四人组成一个集合，孙悟空就是这个集合中的一个元素
    • 集合中元素的特性
      • 确定性
        • 给定的集合，它的元素必须是确定的
        • • 给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了
          • 例如：“小于3的正整数”构成一个集合，1,2是这个集合的元素，而0和3都不是它的元素
      • 互异性
        • 一个给定集合中的元素是互不相同的
        • • 对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的
          • 相同的元素归入同一集合时，只能算作集合的一个元素
          • 例如：方程（x-4）²=0的解集记作｛4｝，而不能记为｛4,4｝
      • 无序性
        • 集合与其中元素的排列次序无关
        • • 如集合{a， b， c}与{c， b， a}是同一个集合
          • 当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等
    • 元素与集合的关系
      • • 给定元素a和集合A，a∈A和a∉A，有且只有一种情况成立
    • 集合相等
      • 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的
      • • 集合相等与集合的形式无关，只要满足元素相同就是同一集合
  • 集合的分类及常用数集
    • 常用数集及记法
      • 
      • • • 二者含义是一样的，可以形象地记为“星星（*）在天上，家（+）在地上”
    • 集合的分类
      • 按集合中元素个数的多少，可将集合分为有限集和无限集
      • 有限集
        • 含有有限个元素的集合
          • 如：集合A=｛1,2,3｝是有限集
        • • 集合的元素个数是可数的
      • 无限集
        • 含有无限个元素的集合
          • 如：所有正整数组成的集合，所有大于3的实数组成的集合，都是无限集
        • • 集合的元素个数是不可数的
  • 集何的表示方法
    • 列举法
      • 定义
        • 把集合中的元素一一列举出来的方法，并用大括号“｛｝”括起来表示集合的方法，叫做列举法
      • 表示的集合种类
        • ①元素个数少且有限时，全部列举
          • 如：｛1,2,3,4｝
        • ②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示
          • 如“1到1000的所有自然数”可以表示为｛1,2,3，...，1000｝
        • ③元素个数无限但有规律时，可类似于上面方法表示
          • 如：自然数集N可以表示为｛0,1,2,3，...，n，...｝
      • • 在集合的书写上，要注意规范性
          • 元素与元素之间必须用“，”隔开
          • 关于 x 的方程 x-a=0 的解集应写成{a}，而不是 a
        • 集合中的元素必须是明确的
        • 不必考虑元素出现的先后顺序
        • 集合中的元素不能重复
        • 集合中的元素可以表示任何事物
      • 优缺点
        • 优点
          • 集合中的元素清晰可见，一目了然
        • 缺点
          • 对于无限集合且元素的规律又不太明显时，就显得力不从心
    • 描述法
      • 就是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法
      • 形式
        • 文字描述法
          • 将说明元素性质的一句话写在大括号内
          • 如：高一年级全体同学组成的集合，可以表示为{高一年级的同学}
          • • ｛｝本身就带有“所有的......”或“......的全体之意”
            • 元素间用“，”隔开
            • 元素不重复且无顺序
        • 符号描述法
          • 在大括号内，首先写出集合元素的表现形式（称之为代表元素）和它的范围，再画一条竖线，然后写上元素所满足的条件（性质）
          • 把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为｛x∈A|P（x）｝
            • x:代表元素
            • A：代表元素的范围
            • P（x）:代表元素的共同特征
          • • 弄清元素所具有的形式
              • 即代表元素是什么，是数、还是有序实数对、点、还是集合等
            • 元素具有怎样的属性
              • 当题目中用了其他的字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑
              • 不能出现未被说明的字母
        • • 在数学中，常用符号描述法来表示集合，它较文字描述法更简洁、更严密
  • 数集和点集
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• 集合间的基本关系
  • 子集
    • Venn图（维恩图）
      • 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图
      • • 封闭曲线可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线
        • 比如：集合A=｛1,2,3,4｝可以用下面各图所示的图形表示
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        • 表示集合的图形的形状与集合的性质没有任何关系，它仅仅是体现把集合中的元素都包括在内
    • 子集的定义
      • 一般地，对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 的元素，我们就称集合A为集合B的子集
        • 记作
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        • 读作
          • “A包含于B”
          • “B包含A”
      • • A中有的，B中都有；但B中有的，A中不一定有
          • 若x∈A，则x∈B
        • “∈”表示元素与集合之间的从属关系
        • “”表示集合与集合之间的包含关系
        • 当A不是B的子集时，我们记作
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    • 子集的性质
      • 任何一个集合是它本身的子集
        • 因为对于任一个集合 A，它的每一个元素都属于集合A本身
        • 记作：
      • 对于集合A，B，C，
  • 集合相等
    • 定义
      • 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等
      • • 记作：A=B
        • A=B
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          • 集合A是集合B的子集，集合B是集合A的子集
    • 判断两个集合相等的方法
      • ①设两个集合A，B均为有限集，若两个集合的元素个数相同，对应元素分别相同，则这两个集合相等，即A=B
      • ②设两个集合A、B均为无限集，只需看两个集合的代表元素及代表元素满足的条件是否一致，若一致，则两个集合相等，即A=B
  • 真子集
    • • 记作
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      • Venn图
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    • 性质
      • 集合 A 中的任何一个元素必定是集合 B 中的一个元素；但集合B 中的元素至少有一个不属于 A
      • 对于集合A，B，若，且A≠B，则
      • 任何一个集合都不是它本身的真子集
      • 传递性
        • 对于集合A，B，C，若
      • 任何一个集合一定有子集，但不一定有真子集
      • 空集没有真子集，一个集合的真子集的个数比子集的个数少1
      • 若非空集合A中有n个元素，则它有
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  • 空集
    • 定义
      • 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集
        • 记作：
    • 性质
      • 空集是任何集合的子集，即
      • 空集是任何非空集合的真子集，即
      • 空集只有一个子集，即它本身
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        • 0是集合｛0｝的一个元素，可记为0∈｛0｝
        • ｛｝表示含一个元素的集合
          • ∈｛｝
        • 表示空集，｛0｝表示含一个元素为0的集合
      • A 是 B 的子集，不能理解为集合 A 是 B 中的部分元素所组成的集合
        • 当 A=时，A 中不含任何元素
        • 当 A=B 时， A 中含有 B 中的所有元素
  • 集合之间的关系
    • 
• 集合的基本运算
  • 并集
    • 定义
      • 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集
        • 记作：A∪B
        • 读作：“A并B”
        • 即A∪B=｛x|x∈A，或x∈B｝
      • • 不能简单的认为A∪B是A的所有元素和B的所有元素放在一起组成的集合
        • 重复元素在并集中只出现一次，看成一个元素
        • “或”
          • 并集的符号语言中的“或”与生活用语中的“或”的含义是不同的
            • 生活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，并不兼存
            • 而并集中的“或”是“或此”“或彼”“或彼此”，可兼有
        • “x∈ A 或 x∈ B”包含三种情形
          • ①x∈ A 且 x∉B
          • ②x∈ B 且 x∉A
          • ③x∈ A 且 x∈ B
    • 性质
      • ①A∪B=B∪A
        • 满足交换律
      • ②A∪A=A
        • 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身
      • ③A∪=A
        • 任何集合与空集的并集等于这个集合本身
      • ④(A∪B)∪C=A∪（B∪C）
        • 满足结合律
      • ⑤
        • 任何集合都是该集合与另一集合并集的子集
      • ⑥
        • 任何集合与它子集的并集都是它本身，反之亦然
  • 交集
    • 定义
      • 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集
        • 记作：A∩B
        • 读作：“A交B”
        • 即A∩B=｛x|x∈A，且x∈B｝
      • • 注意两个关键词
          • “所有”
            • 要将相同的元素全部找出来，不要漏掉一些元素
          • “且”
            • 即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素
    • 性质
      • ①A∩B=B∩A
        • 满足交换律
      • ②A∩A=A
        • 任何集合与其本身的交集等于这个集合本身
      • ③A∩=
        • 任何集合和空集的交集等于空集
      • （A∩B）∩C=A∩（B∩C）
        • 满足结合律
      • 
        • 两个集合的交集是其中任一集合的子集
      • 
        • 任何集合同它子集的交集等于这个集合的子集，反之亦然
      • （A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C） （A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C）
        • 满足分配律
  • 全集和补集
    • 全集的概念
      • 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U
    • 补集的概念
      • 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称集合A的补集，记作：
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        • 全集是相对于研究的问题而言的
    • 全集和补集的性质
  • 集合中元素的个素（容斥原理）
    • 设有限集M所含元素个数用card(M)表示，并规定card()=0，则card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
    • • card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)
  • 由集合的基本运算求参数
    • 在集合的并、交运算中常将A∪B=A，A∩B=B，转化为BA来考虑，这时要特别注意B=时是否满足，以免产生漏解
    • 补集思想的应用
      • 当正面情况较多或较复杂时，我们可以先考虑其反面，再利用其补集，求的其解，这就是“补集思想”
• 充分条件与必要条件
  • 充分条件与必要条件
    • 定义
      • 一般地，“若 p，则 q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q。这时，我们就说，由p可以推出q，记作pq，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件
      • “若 p，则 q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p⇏q.此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件
    • 关系
      • “如果p，那么q”是真命题
      • pq
      • p是q的充分条件
      • q是p的必要条件
      • ①这四种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同 ②p是q的充分条件，只反映pq，与q能不能推出p无任何关系
  • 充要条件
    • 定义
      • 如果“若 p，则 q”和它的逆命题“若 q，则 p”均是真命题，即既有pq，又有qp,就记作p⇔q。此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件
      • • 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件
        • 如果p⇔q，那么p与q互为充要条件
        • “p是q的充要条件”也说成“p等价于q”“q当且仅当p”等
    • 注意事项
      • “若p是q的充要条件，则q也是p的充要条件”，虽然本质上一样，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件和结论不同
  • 从集合角度看充分、必要条件
    • 建立命题 p，q 相应的集合 p：A={x|p(x)成立}， q ：B={x|q(x)成立}，那么
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  • 充要条件的证明方法
    • • 证明充要条件时要分别证明充分性和必要性，二者缺一不可
      • 一般地，证明“p成立的充要条件是q”
        • ①充分性：把q当做已知条件，结合命题的前提条件，推出p
        • ②必要性：把p当做已知条件，结合命题的前提条件，推出q
    • 等价证明
      • 从条件开始。逐步推出结论，或者从结论开始，逐步推出条件，但要求每一步都是等价的
• 全称量词与存在量词
  • 全称量词与全称量词命题
    • 全称量词
      • 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示
      • • 常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等
    • 全称量词命题
      • 定义
        • 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题
      • 符号表示
        • 通常，讲含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x)...表示，变量x的取值范围用M表示
        • 那么，全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M,p(x)”
        • 读作“对任意x属于M，p(x)成立”
    • 全称量词命题的真假判断
      • 要判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立
      • 要判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是假命题，只需在集合M中找到一个元素x,使p(x)不成立，那么这个命题就是假命题
      • • 全称量词命题
          • 经证明为真或与性质、定理等真命题相符
            • 真命题
          • 可举一反例
            • 假命题
  • 存在量词与存在量词命题
    • 存在量词
      • 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示
    • 存在量词命题
      • 定义
        • 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题
      • 符号表示
        • 存在量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M,p(x)”
        • 读作“存在M中的元素x，p(x)成立”
    • 存在量词命题的真假判断
      • 要判定存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可
      • 要判定存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是假命题，需对集合M中的任意一个元素x,证明p(x)都不成立
  • 全称量词命题和存在量词命题的否定
    • 全称量词命题的否定
      • “∀x∈M,p(x)”
        • 否定
          • “并非∀x∈M,p(x)”
          • “∃x∈M,p(x)不成立”
      • • 通常，用符号“¬p(x)”表示“p(x)不成立”
        • “∀x∈M,p(x)，它的否定：∃x∈M，¬p(x)
        • 全称量词命题的否定是存在量词命题
    • 存在量词命题的否定
      • “∃x∈M,p(x)”
        • 否定
          • “不存在x∈M,使p(x)成立”
          • “∀x∈M,p(x)不成立”
      • • “∃x∈M,p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x)
        • 存在量词命题的否定是全称量词命题
    • 常见词语的否定
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