函数与极限

函数与极限思维导图，包括函数的定义和基本性质、数列极限、函数极限、极限的运算法则、极限存在的条件等内容。

函数与极限

• 极限存在准则 两个重要极限
  • 极限存在准则
    • 夹逼准则
    • 单调有界准则
  • 两个重要极限
• 无穷小的比较
  • 并非任意两个等价无穷小都可以比较阶的高低
  • 1.无穷小的阶
    • 高阶 低阶 k阶 等价 同阶
  • 2.等价无穷小
    • 熟记常用等价无穷小
• 函数的连续性与间断点
  • 函数的连续性
    • （1）在某点处有定义 （2）极限存在 （3）极限值等于函数值
  • 函数的间断点
    • 第一类间断点
      • 可去间断点
        • 左右极限相等
      • 跳跃间断点
        • 左右极限不相等
    • 第二类间断点
      • 无穷间断点 震荡间断点
• 连续函数的运算与初等函数的连续性
  • 1.和差积商的连续性
  • 2.反函数的连续性
  • 3.复合函数的连续性
  • 4.初等函数的连续性
    • （1）基本初等函数在它们的定义域内是连续的 （2）一切初等函数在其定义域内是连续的
• 闭区间上连续函数的性质
  • 有界性与最大值最小值定理
    • 闭区间 连续的 函数在该区间上有界 则一定能取得它的最大值最小值
  • 零点定理与介值定理
    • 函数f(x)在闭区间【a,b】上连续，且f(a)与f(b)异号， 则在开区间（a,b）内至少有一点ξ，使f（ξ）=0
• 无穷小与无穷大
  • 某个过程中函数变化的趋势
  • 无穷小
    • 有界函数与无穷小的乘积为无穷小
  • 无穷大
    • （1）无穷大的倒数为无穷小 （2）无穷大一定为无界，无界未必是无穷大
• 极限运算法则
  • 参与运算的有限个且每个都极限
  • （1）0/0型或∞/∞型的极限
  • （2）求0▪∞型或∞-∞型的极限
• 函数的极限
  • 极限不存在的几种典型例子： （1）趋于无穷大；（2）震荡；（3）左右极限不相等
  • 函数极限的定义
    • 1.自变量趋于有限值时函数的极限
    • 2.自变量趋于无穷大时函数的极限
  • 函数极限的性质
    • 1.函数极限的唯一性
    • 2.函数极限的局部有界性
    • 3.函数极限的局部保号性
    • 4.函数极限与数列极限的关系
      • 如果极限f（x）存在，数列Xn为f(x)的定义域内任一收敛于Xo的数列，且Xn不等于Xo,那么相应的函数值数列|f(Xn)|必收敛，且极限f(Xn)＝极限f（x）
• 数列的极限
  • 数列极限的定义
    • lim（n→∞）an=a任取一个ε>0，存在一个正整数N，当n>N时，恒有|an-al<e
  • 收敛数列的性质
    • （1）极限的唯一性
      • 数列收敛则其极限唯一
    • （2）收敛数列的有界性
      • 数列收敛则有界，其逆不真
    • （3）收敛数列的保号性
    • （4）收敛数列与其子数列的关系
      • 如果数列收敛于a，那么其任意子数列也收敛，且极限也是a
• 映射与函数
  • 映射
    • 逆映射与复合映射
    • 单射 满射 一一映射（双射）
  • 函数
    • 两要素：定义域和对应法则
    • （1）函数的有界性
      • 既有上界又有下界
    • （2）函数的单调性
    • （3）函数的奇偶性
    • （4）函数的周期性
      • 并非每个周期函数都有最小正周期 例如：狄利克雷函数
    • 初等函数
      • 由常数和基本初等函数经过有限次的四则 运算和有限次的函数复合步骤所构成并可 用一个式子表示的函数，称为初等函数。