二阶微分方程

还在为学习二阶微分方程烦恼？这是一篇关于二阶微分方程的思维导图，归纳了常系数的微分方程、非齐次方程、英语举例等内容知识。

二阶微分方程

• 常系数齐次微分方程
  • 通式:y^''+ p(t)y^'+q(t)y=0(1.1)
  • 求解p(t)(q(t)为常数)
    • 设y=e^rt
    • 求特征方程根r1、r2(其中ar^2+br+c=0 ,△>0)
    • 通解:y=c1*e^(r1*t)+c2*e^(r2*t)
  • 求解方法
    • 伏朗斯基方法
    • 微分算子
      • L[y(t)]=y'' (t)+p*y' (t)+q*y
    • 解的性质与结构
      • y''+p(t)*y'=g(t),y(t0)=y0,y'(t0)=y0'
      • 叠加原理:如果y1,y2是1.1的两个解，那么c1*y1+c2*y2
      • y1,y2是1.1的两不同解，且定义W[y1,y2]=
      • y1,y2是1.1的两不同解，y(t)=c1*y1+c2*y2包含1.1所有解的充要条件是存在一点t0使Wronskian行列式行列式在t0点处不为0
      • y1,y2满足1.1条件的两解，则y1,y2构成其基础解系
      • 阿贝尔定理:y1,y2是1.1的两解，则他们朗伏斯基行列式为
  • 求解特征根为复数
    • 欧拉公式:e^i*t=cos t=sin t
    • 一般有:e^(m+i*u)*t=e^(m*t)(cos u*t+i*sin u*t)
    • 通解形式:y=e^m*t(c1*cos u*t+c2*i*sin u*t)
    • 条件y^''+ p(t)y^'+q(t)y=0有一对复特征根m+i*u和m-i*u
  • 求解特征根为重根
    • 条件:y^''+ p(t)y^'+q(t)y=0的特征根为二重根
    • 通解形式:y=c1*e^(r*t)+c2*e^(r*t)
• 非齐次方程
  • 通式:L[y(t)]=y'' (t)+p*y' (t)+q*y=g(t)
  • 解的结构
    • 定理1:L[y1]=g(t),L[y2]=0,那么L[y1-y2]
    • 定理2:L[y1]=g(t),L[y2]=0,W[y1,y2]≠0,L[Y]=g(t),则若L[&]=g(t),则&=c1*y1+c2*y2+Y
  • 求特解方法
    • 待定系数法
      • 若方程中g(t)=k*e^(a*t)则设Y=A*e^(a*t)
      • 若g(t)=k*sin (B*t)或g(t)=k*cos (B*t),则设Y为sin (B*t)与cos(B*t)的线性组合
      • 若g(t)是多项式,则设Y是次数相同的多项式
• 应用举例
  • 弹簧质量阻尼系统:m*u''=f(t)
  • f(t)组成
    • 重力m*g,始终向下
    • 弹簧弹力Fs=-k*(L+u)
    • 阻力
      • >0,u增大，f向上
      • <0，u减小，f向下
    • 外力
  • 无阻尼自由振动
    • m*u''+k*u=0，通解
    • 运动特征
      • 振幅
  • 有阻尼振动
    • mu''+ru'+ku=0,△=r^2-4k*m
    • 解的形式
      • △>0,
      • △=0,
      • △<0,
  • 强迫振动
    • 外力是周期激励,mu''+r*u'(t)=F0cos wt
    • 解的一般形式