直线与圆学习笔记

直线与圆学习笔记，知识点包含位置关系、弦长问题、相切问题、最值问题等模块，有需要的朋友收藏下图学习吧！

直线与圆

• 位置关系
  • 相离
    • 无实数根（△＜0） d＞r 没有交点
  • 相切
    • 有两个相等的实数根（△＝0） d＝r 有一个交点
  • 相交
    • 有两个不相等的实数根（△＞0） d＜r 有两个交点
• 弦长问题
  • 计算直线l被圆C截得的弦长AB
    • 几何法：运用弦心距（圆心到直线的距离）、弦长的一半以及半径构成的Rt△计算 如图，l与圆C交于A、B，AB＝2√r²—d²
    • 代数法：
      • ①联立方程组求得A、B坐标，利用两点间距离公式求解 ②联立方程消去一个未知数得到一个一元二次方程，利用根与系数关系，AB= 其中，(x1,y1) （x2,y2）为两交点坐标，k为直线l斜率且k≠0 特别的，当k＝0时，AB＝lx1-x2l 当不存在时，AB＝ly1-y2l
• 最值问题
  • 圆上的点到直线的最大、最小距离
    • 其中OC⊥l于C 点A到l距离最大 点B到l距离最小
  • 过定点的直线与圆相交的最长/短弦问题
    • 过圆内一定点（非圆心）的所有弦中，过定点与圆心的弦是最长弦
    • 过定点且与定点和圆心连线垂直的弦（定点是弦的中点）是最短弦
• 相切问题
  • 圆的切线的条数
    • 过圆外一点，引2条
    • 过圆上一点，引1条
    • 过圆内一点，引0条
  • 圆的切线的性质
    • 圆的切线垂直于过切点的半径； 过圆心垂直于切线的直线必过切点； 过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。 圆心到切线的距离等于圆的半径。
  • 过一点M（x0,y0)引圆的切线方程
    • ⑴点在圆上
      • 斜率法：先求切点与圆心连线的斜率k（k≠0），再由垂直关系得切线的斜率-1/k，由点斜式得方程
      • 向量法：切线上任意一点P（x′,y′），利用→MC•→PM=0求解
    • ⑵点在圆外
      • 代数法：设切线方程为y-y0＝k（x-x0），与圆方程联立消去y（或x）后得到一元二次方程，由△＝0求k，进而求解
      • 几何法：设切线方程为y-y0＝k（x-x0），由圆心到切线的距离等于半径可得k，进而求解
        • 若求得2个k，直接写出方程 若求得1个k，则另一条斜率不存在，此时，另一条切线方程为x＝x0
    • ⑶几个重要结论
• 已知圆x²+y²=r²的切线的斜率为k，则圆的切线方程为y＝kx±r√k² +1