九年级数学

九年级数学总结，包括二次函数、一元二次方程、反比例函数、旋转，相似的定义、性质、判定、实际问题应用等。

九年级数学

• 旋转
  • 性质
    • 图形的旋转是图形上每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动
      • 对应点到旋转中心的距离相等
      • 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
      • 旋转前、后的图形全等，即旋转前后图形的大小和形状没有改变
      • 旋转中心是唯一不动的点
      • 一组对应点的连线所在的直线所交的角等于旋转角度
  • 三要素
    • 旋转中心、旋转角度、旋转方向
      • 对应点到旋转中心的距离相等
      • 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
      • 旋转前后的图形全等
  • 平移与旋转的区别
    • 在图形当中，将一个图形从一个地方变换到另一个地方，这种过程叫做平移；一个图形围着一个定点旋转到一定角度，这种过程叫做旋转
• 相似
  • 相似多边形
    • 对应角相等 对应边成比例
    • 周长等于相似比 面积等于相似比的平方
  • 定义:形状相同，对应角相等，对应边成比例
  • 性质
    • 相似三角形具有传递性
    • 形状相同
    • 对应角相等
    • 对边成比例
    • 面积比是对应边比值的平方
    • 周长比等于对应边之比
  • 判定
    • 普通三角形
      • 两边对应成比例且夹角相等
      • 三边应成比例
      • 两角对应相等
    • 直角三角形
      • 具备普通三角形的判定方法
      • 一条直角边与斜边对应成比例
  • 相似三角形判定
    • 三边成比例
    • 两角对应相等
    • 平行于第三边的直线与其他两边的延长线相交 所得到的三角形与原三角形相似
    • 两边对应成比例且夹角相等
    • 直角边与斜边对应成比例
  • 实际问题应用
• 锐角三角函数
  • 函数图像及性质
    • 正弦
    • 余弦
    • 正切
  • 30º 45º 60º正弦，余弦，正切函数值
  • 两角和差公式
    • sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
    • cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
    • tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
  • 倍角公式
    • tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
    • cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
    • sin2a＝2sinacosa
  • 和差化积
    • cosacosb=1/2[sin(a+b)-sin(a-b)]
    • sinacosb=1/2[sin(a+b)]+sin(a-b)
    • cosacosb=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)]
    • sinasinb=-1/2[cos(a+b)-cos(a-b)]
  • 和差化积
    • sina+sinb=2sin(a+b/2)cos(a-b/2)
    • sina-sinb=2cos(a+b/2)sin(a-b/2)
    • cosa+cosb=2cos(a+b/2)cos(a-b/2)
    • cosa-cosb=2sin(a+b/2)sin(a-b/2)
    • tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb
  • 万能公式
    • sina＝2tan（a/2）/［1+tan²（a/2）］
    • cosa＝［1-tan²（a/2）］/［1+tan²（a/2）］
    • tana＝2tsn（a/2）/［1-tan²（a/2）］
  • 半角公式
    • sin²（a/2）＝（1-cosa）/2
    • cos²（a/2）＝（1+cosa）/2
    • tan²（a/2）＝（1-cosa）/（1+cosa）
    • tan（a/2）＝sina/（1+cosa）＝（1-cosa）/sina
• 反比例函数
  • 定义
    • 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例，即xy＝k，或者y＝k/x，其中k是不等于零的常数
  • 图像性质图像性质
    • K＜0，函数图像分两支，位于二、四象限，y随x的增大而增大
    • K＞0，函数图像分支位于一、三象限，y随x增大而减小
    • 性质:反比例函数图像是轴对称和中心对称，图形对称轴和点分别为y=-x或y=x和（0，0）
    • 几何意义:从图像任意一点为成的矩形面积等于丨k丨，三角形面积等于丨k丨/2
• 二次函数
  • 定义
    • 行如y＝ax²+bx+c（a,b,c为常数且a≠0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项
    • 分类
      • 一般式
        • y＝ax²+bx+c（a,b,c为常数且a≠0），顶点（-b/2a,（4ac-b²）/4a）
      • 顶点式
        • y＝a（x-h）²+k,（a,h,k为常数且a≠0），顶点（h,k）
      • 交点式
        • y＝a（x-x1）（x-x2），（a,x1,x2为常数且a≠0），与x轴交点（x1,0）（x2,0）
  • 图像与性质
    • 重点
      • a决定开口方向，a＞0，开口朝上，a＜0，开口朝下
      • a决定开口大小，丨a丨越大，开口越小，反之越大
    • 图像性质
      • 顶点坐标与对称轴
      • 位置与开口方向
      • 增减性与最值
    • 图像画法
      • 五点绘图法，将一般式转化为顶点式，确定开口方向，顶点，对称轴，x轴交点y轴交点5个点
    • 图像移动
      • 左加右减，上加下减
• 一元二次方程
  • 定义
    • 含有一个未知数，并且未知数的最高次项是2次的整式方程叫一元二次方程，这里三个关键点，首先是整式方程，要一个未知数，然后保证2次
  • 一般形式
    • ax²+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）
  • 根
    • 意义
      • 与X轴交点的个数
    • 根的判别
      • 判别公式
        • b²-4ac
      • 有实根
        • b²-4ac＞0，方程有两个不相等的实数根
        • b²-4ac＝0方程有两个相等的实数根
      • 无实根
        • b²-4ac＜0，方程没有根
      • 求根公式
        • x＝-b±√（（b²-4ac/）/2a）
  • 求解方法
    • 因式分解法
    • 十字相乘法
    • 直接开方
    • 配方法
  • 韦达定理
    • x1+x2＝-b/a
    • x1×x2＝-c/a