第二章矩阵初步与n阶行列式

包含了数域与数学归纳法、高斯消元法中的初等变换、解线性方程组遇到的三种情况、对线性方程组的增广矩阵进行初等变换等

第二章 矩阵初步与n阶行列式

• 2.1 高斯消元法
  • 数域与数学归纳法
    • 至少有一个不等于零的数
    • 一定是复数集C的一个子集
    • ∀a,b∈F,a+b,a-b,ab∈F,并且当b≠0时，a/b∈F（对四则运算封闭）
    • 任何数域都包含有理数域Q
    • F1,F2是数域，则F1∩F2也是数域，但是F1∪F2在 F1F2有包含关系时是数域，在F1F2无包含关系时不是数域
    • 第一数学归纳法：n=1成立→假设n=k成立→证明n=k+1成立
    • 第二数学归纳法：n=1成立→假设对一切小于n的整数成立→证明对n也成立
  • 高斯消元法中的初等变换
    • 目的：得到阶梯型的同解方程组
    • 三种初等变换
      • 用一个非零的数乘以某个方程
      • 变换两个方程的位置
      • 将一个方程的k倍加到另一个方程上
  • 解线性方程组遇到的三种情况
    • 唯一解
    • 无解
    • 无穷多解
      • 通解
  • 对线性方程组的增广矩阵进行初等变换
    • 矩阵的行初等变换
      • 用一个非零的数乘矩阵的某一行（该行中的每个元素）
      • 交换矩阵中两行的位置
      • 将一行的k倍加到另一行上（对每个元素）
    • 初等变换的目的：得到简化阶梯阵（即每个非零行的主元是1， 并且在每个包含主元的列中，除了主元1以外的其他元素都是0）
    • 举例：
  • 线性方程组的求解定理
    • 非齐次线性方程组求解定理
      • 对线性方程组的增广矩阵运用高斯消元法，得到阶梯形矩阵
      • 最后一行出现0=Z(Z≠0),则无解
      • 最后一行出现0=0，则有解
        • 行数等于未知数个数时有唯一解
        • 行数小于未知数个数时有无穷多解
    • 齐次线性方程组非零解存在定理
      • 齐次线性方程组中行数小于未知数个数→一定有非零解
• 2.2 矩阵的运算
  • 定义：由mn个数排成的m行n列矩形数表
  • 各种特殊矩阵
    • m=n时称为“方阵”
    • m=1时称为“行矩阵(向量)”
    • n=1时称为“列矩阵(向量)”
    • 元素全为零的矩阵称为“零矩阵”
    • 只有主对角线上有元素的称为“对角矩阵”
    • 对角矩阵中元素均为1的称为“单位矩阵(I)”
    • 对角矩阵中元素均为c的称为“纯量矩阵(cI)”
    • 当i>(<)j时，aij=0的称为“上(下)三角矩阵”
      • 该矩阵的行列式结果为对角线乘积
  • 矩阵的加法和数乘
    • 加法的要求：同型矩阵，每个对应位置的元素相加，进而得到新的矩阵
    • 加法的性质
      • 交换律：A+B=B+A
      • 结合律：A+(B+C)=(A+B)+C
      • A+0=0+A=A (0是与A同型的零矩阵)
      • A+(-A)=0
    • 数乘的性质(A,B是同型矩阵，k,l是两个常数)
      • k(A+B)=kA+kB
      • (k+l)A=kA+lB
      • (kl)A=k(lA)
      • 1A=A,0A=0,(-1)A=-A
  • 矩阵的乘法
    • 乘法的要求：第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等 （即Am*n与Bn*p是可相乘的）
    • C=AB（其第i行第j列元素cij是A的第i行与B的第j列的行列积）
  • 矩阵乘法的性质
    • 双重求和符号可交换求和的顺序：
    • 结合律：AB(C)=A(BC)
    • 分配律：A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA
    • 对单位矩阵I,IA=A,AI=A
    • 对常数k,(kA)B=A(kB)=k(AB)
    • 方阵A的方幂：
    • 大多数情况下
    • 当AB=BA时，
    • 可交换的矩阵：满足AB=BA
• 2.3矩阵的转置和分块
  • 矩阵的转置
    • Am*n经过行与列互换得到的n*m的矩阵，记作
    • 对称矩阵的定义：
    • 对称矩阵的充要条件：aij=aji
    • 矩阵转置的性质
  • 矩阵的分块
    • 分块的条件：A分块后以分块矩阵作为元素的"列数"与 B分块后以分块矩阵作为元素的"行数"要相等
    • 设有实矩阵A=(aij)m*n满足
• 2.6 行列式的应用
  • 方阵乘积的行列式
    • |EA|=|E||A|(A是n阶方阵，E是n阶初等矩阵)
    • 矩阵乘积的行列式公式
      • |AB|=|A||B|(A,B是n阶方阵)
    • n阶方阵A是奇异矩阵的充要条件是|A|=0
    • 可逆矩阵的判定定理
      • n阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是|A|≠0
  • 用伴随矩阵表示逆矩阵
    • 当|A|≠0
    • 当A是n阶方阵
  • n元线性方程组的克拉默法则
• 2.5 方阵的行列式
  • n阶行列式的定义
    • 代数余子式Aij的引入
    • 可按照某行某列展开行列式
  • n阶行列式的性质
    • (转置不变)行列互换，行列式不变
    • 交换两行(列)行列式反号
    • 存在两行两列相同，行列式为零
    • 非零数c乘在某一行(列)，相当于c乘以行列式
    • 某一行(列)是两组数的和，则行列式等于 两个行列式(分别按照两组数作该行/列)之和
    • 行列式的一行(列)的c倍加到另一行(列)，行列式不变
  • 行列式的完全展开式
    • 逆序数
• 2.4 方阵的逆矩阵
  • 逆矩阵的概念和性质
    • A为n阶方阵若存在n阶方阵B使得 AB=BA=I 则A为可逆矩阵，B是A的一个逆矩阵
    • 若不存在矩阵B满足条件，则A称为奇异矩阵
    • 可逆矩阵的性质
      • 单位矩阵可逆：
      • A可逆，则A逆也可逆，并且
      • 若n阶矩阵A,B都可逆，则AB也可逆，并且
      • 如果A可逆，则A转置也可逆，并且
      • 如果A可逆，数k≠0，则kA也可逆，并且
  • 初等矩阵
    • 定义：单位矩阵I经一次行初等变换得到的矩阵
      • 在I的第i行乘非零的数c
      • 交换I的第i行和第j行
      • 把I的第i行的d倍加到第j行
    • 对一个n*p矩阵A作初等变换相当于用相应的n阶初等矩阵左乘A
    • 三类初等矩阵都是可逆矩阵
    • 矩阵的行等价
      • 若B=EkEk-1Ek-2…E1A：则B行等价于A
    • 可逆阵的判定定理
      • 若A是n阶方阵，那么这些条件等价
        • A是可逆矩阵
        • 齐次线性方程组AX=0
        • A行等价与I
        • A是初等矩阵的乘积
  • 用初等变换求逆矩阵
    • 在所求矩阵右侧扩充一个单位矩阵 通过初等变换将左侧矩阵化为单位矩阵
    • 定义一个新矩阵待定系数法使A*A逆=I解出A逆
    • 将矩阵写成初等矩阵乘积的形式