第三章线性方程组

线性方程组解的结构：齐次线性方程组x1α1+x2α2…=0解所成的集合具有两个重要性质性质；设n1.n2....nt是其次，线性方程组中的一组解。

第三章 线性方程组

• 消元法（矩阵的初等变换法）
  • 具体解方程组
  • 步骤
    • 1️⃣用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组
    • 2️⃣结论
      • 最后一个等式是零等于一个非零数，方程组无解
      • 阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的个数n，有唯一解
      • 阶梯形方程组中方程的个数r小于未知量的个数n，方程组有无穷多个解
  • 定义
    • 定义1 线性方程组的初等变换
      • 1.用一个非零的数乘一个方程
      • 2.用一个数乘一个方程，后加到另一个方程上。
      • 3.互换两个方程的位置
    • 定义2 由sn个数排成的s行n列的表 称为一个sxn矩阵。
    • 定义3 矩阵的初等变换
      • 1.用一个非零的数乘某一个方程。
      • 2.把一个方程的倍数加到另一个方程。
      • 3.互换两个方程的位置。
      • 任意一个矩阵，总可以通过一系列的初等行变换，变成阶梯型矩阵。
  • 定理
    • 定理1 如果齐次线性方程组中，方程的个数少于未知数的个数。那么他它有非零解。
    • 定理2 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式D=0
• n维向量空间
  • 定义
    • 定义4 数域f中n个数组成的有序数组（a1，a2,...an）称为数域f上的一个n维向量。 其中di个数AI称为向量的第i个分量。
    • 定义5 如果n维向量a=（a1，a2，…an） B=（b1，b2…bn）对应分量都相等。ai=bi(i=1 2 3...n)就称这两个向量是相等的，记作a等于b。
    • 定义6 设a=（a1，a2，…an） B=（b1，b2…bn）是数域f上的两个n维向量，向量(a1+b1.a2+b2....an+bn) 称为a.b的和，ka=(ka1,ka2,...kan)向量的加法，减法与数乘统称为向量的线性运算。
  • 向量相关概念
    • 向量相等
    • 向量的和
      • 交换律
      • 结合律
    • 零向量
    • 负向量
    • 数量乘积
  • n维向量空间定义
    • 以数域f中的数作为分量的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘积，称为数域f上的n维向量空间
• 线性相关性
  • 相关概念
    • 线性组合
      • 成比例关系，如a=kb，
      • 零向量是任一向量组的线性组合（只要取系数全为0）
    • 线性表出
      • 定义
        • 一个向量a是向量组b1，b2…的一个线性组合时，向量a可以经向量组b1，b2…线性表出
      • 关系
        • 如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价
      • 特征
        • 自身性
          • 每一个向量组都可以经它自身线性表出
        • 对称性
        • 传递性
    • 线性相关
      • 定义
        • 定义1：向量组中有一个向量可由其他的向量线性表出
        • 定义2：有数域P中不全为零的数，k1，k2…使k1a1+k2a2…=0
      • 结论
        • 如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关
        • 若向量组a1，a2…中每一个向量可以由向量组b1，b2…线性表出，则a1，a2…可以由b1，b2…线性表出
        • 若向量组a1，a2…中每一个向量可以由向量组b1，b2…线性表出，则a1，a2…可以由b1，b2…线性表出
        • 若向量组a1，a2…与向量组组b1，b2…互相线性表出，则称这两个向量组等价
    • 线性无关
      • 定义
        • 定义1：由k1a1+k2a2+…=0可以推出k1=k2=…=0
        • 定义2：没有不全为零的数，k 1 ，k 2 …使k 1 a 1 +k 2 a 2 …=0
      • 结论
        • 如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关
        • 线性无关的向量组一定不能包含两个成比例的向量
    • 判定定理
      • 判断一个向量组是否线性相关➡️方程组是否有解
      • 定理2
        • 设向量组a1，a2…可以由向量组b1，b2…线性表出，如果r>s，则a1，a2…一定线性相关
      • 推论1
        • 如果向量组a1 ，a2…可以经向量组b1 ，b2…线性表出，且a1 ，a2…线性无关，那么r≤s
      • 推论2
        • 任何n+1个n维向量必线性相关
      • 推论3
        • 两个线性无关的等价的向量组，必有相同个数的向量
    • 极大线性无关组
      • 定义
        • 一向量组的一个部分组满足：
          • 1、部分组本身线性无关
          • 2、从向量组中任意添一个向量，所得的部分向量组都线性相关
      • 定理
        • 任何一个极大线性无关组都与向量组本身等价（向量组与它的任意一个极大线性无关组等价）
        • 一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的
        • 一向量组的极大线性无关组都含有相同個數的向量
    • 秩
      • 定义
        • 向量组的极大线性无关组所含向量的个数
      • 相关结论
        • 一向量组线性无关↔️它的秩与它所含向量的个数相同
        • 全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组，规定这样的向量组的秩为零
        • 若向量组A可以由向量组B线性表出，则A的秩≤B的秩
        • 等价的向量组必有相同的秩
    • 解题步骤
      • 判断线性相关性的步骤
        • 1.设存在K1.k2.k3....ks st k1a1+k2a2+...ksas=0
        • 2.写出相关列向量，得到方程组
        • 3.将方程转为系数矩阵
        • 4.求解若全为零，则线性无关，若不全为零，则线性相关。
      • 如何求极大线性无关组
        • 1.先将向量写出列的形式。
        • 2.再将矩阵进行初等行列式变换为阶梯形。
        • 3.每个阶梯取一个向量，构成的向量组为极大线性无关组。
        • 4.非零行的个数等于秩
        • 5.秩等于向量个数则线性无关，秩小于向量个数则线性相关。
• 矩阵的秩
  • 相关定义
    • 行秩
      • 行向量组的秩
    • 列秩
      • 列向量组的秩
    • A的不为零的指示的最高阶数 行列式的秩
    • k级子式
      • 在一个s✖️n矩阵A中任意选定k行和k列，位于这些选定的行和列的交点上的k²个元素按原来的次序所组成的k级行列式，称为A的一个k级子式
  • 定理
    • 矩阵的行秩、列秩与行列式秩都相等
    • 行列式为0↔️A的秩小于n
    • 齐次线性方程组有非零解↔️它的系数矩阵的行列式等于0
    • 一矩阵的秩是r↔️矩阵中有一个r级子式不为零，同时所有r+1级子式全为零
  • 矩阵的初等列变换
    • 以数域f中一个非零的数乘矩阵的一列
    • 把矩阵的某一列乘k后，加到另一列上（这里k时数域f中任意一个数）
    • 互换矩阵中两列的位置
• 线性方程组有解判别定理
  • 齐次线性方程组
    • 无穷的非零解：r(A)＜n
    • 唯一的零解：r(A)=n
  • 线性方程组
    • 无解
      • r(A)＜r(Ā)
    • 有解
      • 无穷解：r(A)=r(Ā),＜n
      • 唯一解：r(A)=r(Ā)=n
    • 系数矩阵的秩r(A) 增广矩阵的秩r(Ā） 未量数的个数n
• 线性方程组解的结构
  • 齐次线性方程组x1α1+x2α2…=0解所成的集合具有两个重要性质 性质
    • ①两个解的和还是两个方程组的解
    • ②一个解的倍数还是方程组的解
  • 定义
    • 设n1.n2....nt是其次，线性方程组中的一组解
      • n1.n2....nt线性无关
      • 方程组中的任一个解都能表成 n1.n2....nt线性组合
  • 定理
    • 子主题在齐次线性方程组中，有非零解的情况下，他一定有基础解系，并且基础解系所含解的个数=n-r，即自由未知量的个数
    • 如果r0 是方程组的一个娶定的姐，那么方程组的任意一个借都可以表成r=ro+n形式，其中n是导出组的一个解
    • 在方程组有解的前提下，解是唯一的充分必要条件是：它的导出组中有零解