不等式

这是一篇关于不等式的思维导图，一般用纯粹的大于号“>”、小于号“<”表示大小关系的式子，叫作不等式。用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。其中，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域。

不等式

• 总结
  • 学习误区
    • 比较法证明时不明确“变形”“判号”的方向出错、
      • 变形的主要方法是 因式分解、配方
      • 判断过程必须详细叙述;如果作差以后的式子可以整理为关于某个一变量的二次式，则考虑用判别式法证
    • 综合法与分析法步骤不明确致误
      • 综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透， 互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野
  • 知能提升
    • 证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点
    • 不等式证明还有一些常用的方法:换元法、导数法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换、均值代换两种。在应用换元法时，要注意代换的等价性
• 学法指导
  • 不等式证明
    • 不等式证明常用的方法有比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法
    • 放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中找取
    • 有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法凡是含有“至少”“唯一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法
  • 去绝对值的主要方法
    • 公式法
      • .lxl<a (a>0)↔-a<x<a,
      • lxl>a( a>0)↔x>a或x<- a
    • 定义法
      • 零点分段法
    • 平方法，
      • 不等式两边都是非负数时，两边同时平方
  • 绝对值的几何意义
    • lxl={x (x≥0) -x (x≥0)
      • 数轴上到原点距离为.xl的点
    • la+bl≤lal+lbl,以|a+bl、 lal、 |bl为 边的三角形两边之和不小于第三边
    • la-b|≤la- c|+lc- -al,数轴上任意两点a,b的距离不大于任意一点c与这两点距离的和
      • (当且仅当c在a、b间取等号)
  • 特殊不等式
    • 会解或证明下列不等式
      • lax+bl≤c,lax+bI≥c，利用公式求解
      • lx- -al+lx- -bI≥c,利用零点分段法或几何意义求解
      • 会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形
      • 会用数学归纳法证明贝努利不等式
      • 会用向量递归方法讨论排序问题
• 知识梳理
  • 不等式的性质
    • 均值定理
    • 绝对值不等式
    • 排序不等式
    • 柯西不等式
    • 贝努利不等式
  • 不等式证明
    • 技巧
      • 放缩技巧
      • 构造技巧
      • 换元技巧
    • 方法
      • 比较法
        • 综合法
          • 分析法
            • 反证法
              • 判别式法
      • 斜率法
        • 向量法
          • 函数单调性法
            • 导数法
              • 数学归纳法