高中数学-函数-函数及其表示思维导图

函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。

高中数学-函数-函数及其表示

• 总结
  • 学习误区
    • 函数定义理解不到位
    • 定义域理解不到位：易把 f ( r )与 f (×+1）混淆为同一函数
  • 知能提升
    • 分离变量解决 知能提
    • 最值讨论y= ax + bx + c ( a >0)
      • 轴定区间动
        • 1．区间在对称轴右边
        • 2．区间包含对称轴
        • 3．区间在对称轴左边
      • 轴动区间定（与上相仿）
        • 1．对称轴在区间右边
        • 2．对称轴在区间内
        • 3．对称轴在区间左边
• 学法指导
  • 定义域的求法
    • 具体函数
      • 1．整式函数或奇次根式函数，则定义域为 R
      • 2.
        • ，则定义域是 x )*0的解集
      • 3.
        • 则定义域是8( x )＞的解集
      • 4.对数函数的真数必须大于零对数函数和指数函数的底数a>0且 a ≠ l
      • 5.抽象函数5．函数 y = [f ( x ) ]°的定义域是 f ( x )≠0的解集
      • 6．函数 y = tan x 的定义域是：
      • 7．若解析式由几个部分的数学式子构成，则定义域是使各部分式子都有意义的实数集（即求各部分的交集）
      • 8．实际问题中函数的定义域是使变量都有意义且符合实际的实数集合
    • 抽象函数
      • 1．已知 f ( x ）的定义域为［ a, b ]，求 f[g( x）]的定义域，方法是令 a≤g ( x )≤ b 。解出 x 为所求
      • 2．已知 f[g( x）]的定义域为 ［ a, b ] ,，求 f ( x ）的定义域．
        • 方法：由 f[g ( x)]中的 a≤x ≤ b ，求出g( x ）的范围，即为f（x）中 x 的范围
      • 3．已知 f[g( x）]的定义域为［ a ,b]，求f[h(x)］的定义域 ,方法：转换为2与1，由2求出f(x)的定义域 ，再由1得到 f[h(x)］的定义域
    • 参数问题
      • 如定义域为R求参数范围
        • 思想
          • 分类讨论，特别是二次方程二项系数是否为0的讨论
        • 方法
          • 二次函数图像法
          • 分离变量法
          • 导数法
    • 解析式的求法
      • 代入法
      • 待定系数法
      • 换元法
      • 方程组解法
      • 特殊值法
      • 根据图像求函数式
    • 值域与最值
      • 关系
      • 求法
        • 基本函数法
          • 通过图像的性质直接求解
        • 函数单调性法
          • 确定函数在定义域（或其子集）上的单调性，求出函数值域
        • 判别法
          • 把函数转化为关于x的二次方程F（x,y）=0,通过方程有实根，判别式Δ>=0,从而求得原函数的值域
        • 不等式法
          • 利用基本不等式
        • 配方法
          • 适合二次（型）函数
        • 换元法
          • 利用代数和三角换元，将所给函数转化为易求值域的函数
        • 反函数法
          • 利用反函数定义域与原函数值域的关系
        • 数形结合法
          • 所给函数有较明显的几何意义，可借助函数图像求函数的值域
        • 导数法
          • 利用导数求函数的极值点，比较极值点与闭区间的端点值的大小
• 知识梳理
  • 概念
    • 函数的定义
    • 关系
      • 函数是一类特殊的映射，对应关系有一对一，多对一，无一对多。他要求A,B非空且元素皆为实数
  • 表示法
    • 列表 利用表格来表示两个变量的函数关系的方法
    • 图象 利用图象来表示两个变量的函数关系的方法
    • 解析 利用数学等式来表示两个变量的函数关系的方法
  • 三要素
    • 定义域 自变量的取值范围
    • 对应法则 自变量 x 到对应函数值 y 的对应关系式往往以关系式形式出现，又称解析式
    • 值域
      • 函数值的取值范围
  • 分段函数
    • 定义 对于自变量×的不同取值集合，有不同对应关系的函数
    • 图象 分段函数各段对应的图像
    • 定义域 值域
      • 定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段值域的并集