导数应用

导数应用思维导图，包括单调性、驻点、求单调性步骤、求极值步骤、求函数在闭区间上最值、凹凸性等内容。

导数应用

• 单调性
  • 单调性
    • 单调增加
    • 单调减少
  • 驻点
    • ，称为驻点
  • 求单调性步骤
    • 确定函数的定义域
    • 求出导数并找出的点，及不存在的点
    • 用上述各点将定义区间划分为若干部分区间，再判定各个部分区间上导数的符号，从而确定函数在各部分区间上的单调性
  • 极值
    • 如果存在点的一个邻域，使得对于该邻域内的任何点（除了点外）），都有成立，就称是函数的一个极大值，而点称为极大值点
    • 如果存在点的一个邻域，使得对于该邻域内的任何点（除了点外），都有成立，就称是函数的一个极小值，点称为极小值点
    • 必要条件
      • 设函数在处可导，且在处取得极值，则一定有
    • 设函数在的一个邻域内可导且
      • 如果对左侧邻近的点有，对右侧邻近的点有，则是的极大值
      • 如果对左侧邻近的点有，在右侧邻近的点有，则是的极小值
      • 如果对两侧邻近的点，恒为正或恒为负，则不是的极值
    • 设函数在点处具有二阶导数，且
      • 当时，函数在处取得极大值
      • 当时，函数在处取得极小值
  • 求极值步骤
    • 求出导数
    • 求出的全部驻点和不可导点
    • 讨论这些点两侧的一阶导数符号或者二阶导符号，并由判断其是否为极值点
• 最值
  • 求函数在闭区间上最值
    • 求出在内的全部驻点和导数不存在的点
    • 计算并比较 的大小，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值
• 凹凸性
  • 设在上连续，在内具有二阶导数
    • 若在内，则在上的图形是凹的
    • 若在内，则在上的图形是凸的
  • 拐点
    • ①求
    • ② 求出为零的点和不存在的点，用这些点把区间划分成若干个部分区间
    • ③ 考察在各部分区间上的符号，从而确定曲线的凹凸性及拐点
• 渐进性
  • 垂直渐近线
    • 若或，则称直线为曲线的垂直渐近线。
  • 水平渐进线
    • 若（或），则称直线为曲线的水平渐近线。