圆（54~76分）

初中数学考试的历年统计分析，圆部分占分比最高。本图将各知识点及考分分布做了系统梳理，以帮助同学高效的学习及掌握。

圆

• 相关概念（3分）
  • 集合
    • 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
    • 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
    • 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
  • 轨迹
    • 到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆
    • 到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线
    • 到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线
    • 到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线
    • 到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线
• 点和圆的位置关系（3分）
  • 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r 点P在⊙O内； d=r 点P在⊙O上； d>r 点P在⊙O外。
• 直线与圆的位置关系（3~5分）
  • 直线和圆有三种位置关系，具体如下： （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点。 直线l与⊙O相交 d<r； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线。 直线l与⊙O 相切 d=r； （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。直线l与⊙O 相离 d>r；
• 圆与圆的位置关系（3分）
  • 1、圆和圆的位置关系 1) 如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。 2) 如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。 3) 如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。 2、圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。 3、圆和圆位置关系的性质与判定：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么 1) 两圆外离 d>R+r 2) 两圆外切 d=R+r 3) 两圆相交 R-r<d<R+r（R≥r） 4) 两圆内切 d=R-r（R>r） 5) 两圆内含 d<R-r（R>r） 4、两圆相切、相交的重要性质： 1) 如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线； 2) 相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
• 弦、弧等与圆有关的定义（3分）
  • （1）弦： 连接圆上任意两点的线段叫做弦。 （2）直径： 经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的2倍。 （3）半圆： 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （4）弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“ ”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）
• 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理（3分）
  • 1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 2、弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。 4、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
• 圆周角定理及推论（3~8分）
  • 1、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
• 垂径定理及其推论（3分）
  • 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
• 圆的对称性（3分）
  • 1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
• 过三点的圆（3分）
  • 1、过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）：圆内接四边形对角互补。
• 反证法（3分）
  • 先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。
• 切线的判定及性质（3~8分）
  • 1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
• 切线长定理（3分）
  • 1、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
• 三角形内切圆（3~8分）
  • 1、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
• 弧长和扇形面积（3~8分）
  • 1、弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为 2、扇形面积公式： （其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长） 3、圆锥的侧面积： （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径） 补充：（此处为大纲要求外的知识，但对开发智力，改善学生数学思维模式有很大帮助） 1、相交弦定理： ⊙O中，弦AB与弦CD相交与点E，则AE*BE=CE*DE 2、弦切角定理：弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。 弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。即：∠BAC=∠ADC 3、切割线定理：PA为⊙O切线，PBC为⊙O割线，则
• 正多边形的对称性（3分）
  • 1、轴对称性： 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 2、中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法：先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
• 正多边形的有关概念（3分）
  • 1、中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
• 正多边形和圆（3分）
  • 1、正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 2、正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。