相似三角形

初中数学之相似三角形的思维导图，包括相似三角形的性质、相似的定义、表示方法、相似比和判定等内容。

第二十四章，相似三角形

• 24.1放缩和相似形
  • 1.放缩运动：图像放大缩小 注：不改变图形形状
  • 形状不变的为相似
  • 2，放缩形，图形形状相同 形状相同的图形；经过放大缩小能够重合的图形
• 24.2比例线段
  • 1.比和比例
  • 2.线段之比和成比例线段 线段ab长度之比叫做线段ab之比，记作a:b记作a/b 注abcd是比例线段，则a:b=c:d 若abcd是比例线段则分三种
  • 3.比例线段
    • 1）基本变化 内项积等于外项积a/b=c/d = ad=bc
    • 2）比例性质
      • 1.合比性质
        • 如果a/b=c/d那么=a+b/b=c+d/d,a-b/b=c-d/d
      • 2.合比性质
        • 如果a/b=c/d=k那么a+c/b+d=k
      • 两个方法
        • 1.设k
        • 2.性质
  • 4.黄金分割点
    • 1.比例中项
      • 在比例中如果两个内项相同，那么这两个项是相同的，这项就叫做比例项。
        • 例：b是ac比例中项 a/b=b/c或b^2=ac
    • 2.黄金分割点
      • 线段AB上有一点P，将AB分成AP与PB(AP>BP)且AB是AB与BP的比例中项，那么这种方法分割的P点叫黄金分割点
        • 注1）如果P是AB黄金分割点（AP>BP）可得【1】=>AP^2=BP*AB=>AB/AP=AP/BP=>[2]AB/AP=AP/BP=√5-1/2≈0.618 AP,AB,BP知一求二
• 24.3 三角形一边平行线
  • 1.三角形一边平行线性质
    • 平行于三角形一边的直线截的对应线段成比例 ： 因为DE//BC所以AD/DB=AE/EC,AD/AB=AE/AC,BD/AB=CE/AC.
  • 2.三角形一边平行线性质定理推论：
    • 平行于原三角形一边的直线截其他两边所在直线，截得的三角形与原三角形三边对应成比例（图同上） 因为DE//BC所以AD/AB=AE/AC=DE/BC
  • 3.重心与重心定理
    • 重心：
      • 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心
    • 重心定理：
      • 三角形的重心到一个顶点的距离等于这一个重心到这个顶点对边距离的两倍（图如上）
        • 例因为G是三角形ABC重心，所以AG/GE=CG/GD=BG/GF=2/1
  • 4.三角形一边平行线判定定理，如果一条直线截三角形两边对应线段成比例，那么这条直线平行于第三边 例因为AD/DB=AE/AC所以DE//BC
  • 5.三角形一边的平行线判定定理推论：
    • 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在同侧）对应线段成比例，那么这直线于三角形第三遍平行
  • 6.平行线性质定理两条直线被第三条直线所截，截得的对应线段成比例。
    • 从左到右依次为 井字 A字 8字 畸形
• 24.4相似三角形判定
  • 相似三角形定义
    • 对应角相等，对应边成比例的三角形
      • 例 因为三角形ABC∽三角形A'B'C' 所以∠A=∠A'∠B=∠B'∠C=∠C' AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'=K
    • 相似比：
      • 相似三角形对应边之比，叫做相思比 K：比例系数 三角形ABC于三角形A'B'C'相似比为K K=1时两个相似形全等。
    • 相似三角形的传递性
      • 三角形ABC∽三角形A1B1C1 三角形ABC∽三角形A2B2C2 则三角形A1B1C1∽三角形A2B2C2
    • 4.相似三角形判定
      • 1）预备定理
        • 平行于三角形一边的直线截其他两边所得直线所得的三角形相似于原三角形。
          • 例 因为DE//BC所以三角形ADE∽三角形ABC
        • 2)判定定理
          • 类比全等：SAS,AA(AAS,ASA),SSS
• 24.5相似三角形性质
  • 1.相似三角形性质
    • 1）对应角相等，对应线段成比例
    • 2）相似三角形对应高之比，对应中线之比和对应角平分线之比都等于相似比K。
      • 因为三角形ABC∽三角形A'B'C' 所以AD/A'D'=AE/A'E'=AH/A'H'=K
    • 相似三角形周长比等于相似比。