高中数学-三角函数的图像与性质

高中数学-三角函数的图像与性质知识总结，包括三角函数图像的画法、判断三角函数值大小的基本程序、已知三角函数求值等。

三角函数的图像与性质

• 知识梳理
  • 图像与性质
  • • 变换作图
      • y=sinx
      • 注意
    • 性质
      • 最值
        • 当A>0时，最大值为A，最小值为-A
      • 对称轴、对称中心:对称轴过最值点，对称中心过函数的零点
      • 奇偶性
      • 单调性问题
        • 1.正、余弦函数的单调性
        • 2.复合函数的单调性法则“同增异减”
      • 周期性
• 学法指导
  • 三角函数图像的画法
    • 1.描点法
      • 按照列表、描点、连线三步作出正弦函数、余弦函数图像的方法
    • 2.几何法
      • 用三角函数线来作出函数图像
    • 3.“五点法’
      • 先描出五个关键点，再用光滑的曲线连起来
      • 在精度要求不高时，常常采用“五点法”
  • 变换作图
    • • 相位变换
      • 周期变换
      • 振幅变换
  • 判断三角函数值大小的基本程序
    • 1判定各角所在的象限
    • 2估计各三角函数值的大致范围
    • 3对于大致范围相同的三角函数值，把不同名的三角函数值化为同名的三角函数值
    • 4把这些同名且不在同一单调区间上的三角函数，用诱导公式化为同一单调区间上的
    • 5利用三角函数的单调性比较大小
  • 周期性
    • 1.周期
      • 周期通常指非零常数
      • T>0,kT(K为正整数)为周期，T＜0，kT(K为负整数)为周期，如y=sinx(x≥1)即周期函数，T=2π，4π为周期-2π为其周期
    • 2.最小正周期
      • a.并非所有的周期函数都有最小正周期
      • b.若涉及周期，如不特别说明，一般都是指函数的最小正周期
    • 3.常用方法
      • a.结论法
        • 正弦、余弦
        • 正切、余切
      • b.图像法
        • 作出函数的图像来确定其最小正周期
      • c.定义验证法
  • 已知三角函数求值
    • 实际上是求解最简单的三角方程，若所求角的范围不限定在某个单调区间内，则得出的解不是唯一
  • 奇偶性
    • 判断方法
      • 1.定义法
        • 利用定义判定，即判定f(-x)与f(x)的关系
      • 2.图像法
        • 利用图像的对称性来确定其奇偶性
      • 3.验证法
    • 步骤
      • 一般情况下，需先对函数式进行化简
      • 求函数的定义域
      • 依据函数的定义域是否为关于原点对称的点集，判断函数的奇偶性
      • 若定义域不能判断，再用定义法等方法
• 学习误区
  • 学习误区
    • 单调性致误
      • 三角函数在整个定义域内没有单调性，只是在局部有单调性
    • 对称性致误
      • 正弦、余弦函数图像的对称中心为图像与x轴的交点。而正切函数图像的对称中心除了图像本身与x轴的交点。还有其渐近线与x轴的交点
    • 正、余弦函数的图形变换易错点
    • 用函数建模解实际问题时，易错之处是忽略实际问题中自变量的取值范围
  • 知能提升
    • 三角函数最值问题
      • 是对三角知识的综合考察，是函数思想的具体体现
    • 周期模型
      • 三角函数是基本初等函数，是周期现象的重要模型
    • 工具性
      • 与向量、复数的结合