初中数学知识点

涵盖了苏科版数学教材初中三年涉及的全部知识点，做的时候真的很费力呜呜呜

初中数学知识点

七上

有理数

正数、负数

正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数

两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数小

数轴

数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大

在数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值

有理数与无理数

我们把能够写成m/n（m、n是整数，n不等于0）的数叫做有理数

无限不循环小数叫做无理数

相反数与绝对值

正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0

两个互为相反数的数相加的积为0

有理数的加法和减法

有理数相加法则

有理数加法运算率

有理数相减法则

有理数减法法则

有理数的乘法和除法

有理数乘法法则

有理数乘法运算率

乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数

有理数除法法则

两个不等于0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除

0除以任何一个不等于0的数，都得0

有理数的乘方

正数的任何次幂都是正数

负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数

有理数的混合运算

先乘方，后乘除，再加减，如果有括号，先进行括号内的运算

代数式

单项式

数与字母的积，单独一个数或一个字母

多项式

几个单项式的和

多项式中，每个单项是叫做多项式的项，x项式，次数最高的项的次数为多项式的次数，常数项

整式

合并同类项

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同叫做同类项，常数项也是同类项

根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项

合并同类项法则

同类相的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变

去括号

去括号法则

括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不改变

括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项的符号都要改变

整式的加减

一元一次方程

一元一次方程

只有一个未知数，并且未知数的次数都是1

解一元一次方程

等式的基本性质

等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式

等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能是0），所得结果仍是等式

方程中某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项

用一元一次方程解决问题

走进图形世界

丰富的图形世界

几何图形由点、线、面

主视图、左视图、俯视图

平面图形的认识（1）

线段、射线、直线

两点之间线段最短

两点确定一条直线

角

有公共端点的两条射线组成的图形叫做角

角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形

射线将角分成两个相等的角，射线叫做这个角的平分线

余角、补角、对顶角

如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余

如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补

七下

平面图形的认识（2）

直线平行的条件

同位角相等，两直线平行

内错角相等，两直线平行

同旁内角互补，两直线平行

平行线的性质

两直线平行，同位角相等

两直线平行，内错角相等

两直线平行，同旁内角互补

图形的平移

一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等

认识三角形

三角形的任意两边之和大于第三边

在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫做三角形的中线

在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线做直线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高

多边形的内角和与外角和

三角形的内角和是180°

n边形的内角和等于（n-2）·180°

多边形的外角和等于360°

幂的运算

同底数幂的乘法

a^m * a^n = a^(m+n) （m、n是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加

幂的乘方与积的乘方

（a^m）^n=a^(m×n)9（m、n是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘

(a×b)^n=a^n×b^n（n是正整数） 积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘

同底数幂的除法

a^m÷a^n=a^(m-n)（m、n都是整数且a≠0，m>n）同底数幂相除，底数不变，指数相减

a^0 = 1 ）a≠0） 任何不等于0的数的0次幂等于1

a^（－n）=1/a^n（a≠0，n是正整数）任何不等于0的数的-n（n是正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数

概要

a^m÷a^n=a^(m-n)（m、n都是整数，a≠0）

整式乘法与因式分解

单项式乘单项式

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式

单项式乘多项式

单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加

多项式乘多项式

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加

乘法公式

完全平方公式

平方差公式

多项式的因式分解

多项式各项的公因式

把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解

提公因式法

如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的形式

运用公式法

运用平方差公式、完全平方公式，把一个多项式分解成因式的方法叫做运用公式法

二元一次方程

二元一次方程

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程

二元一次方程组

把含有两个未知数的两个一次方程联立在一起就组成了一个二元一次方程组

我们把二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解

解二元一次方程组

将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程，消去这个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法

把二元一次方程组的两个方程（或先做适当变形）的左、右便分别相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次。这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法

三元一次方程

把含有三个未知数的三个一次方程联立在一起，就组成了一个三元一次方程

用代入消元法或加减消元法消去一个未知数，就可以把解三元一次方程组转化为解二元一次方程组

用二元一次方程组解决问题

一元一次不等式

生活中的不等式

用不等号表示不等关系的式子叫做不等式

不等式的解集

能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解

一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的集合

求不等式解集的过程叫做解不等式

不等式的基本性质

不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变

不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变

解一元一次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式

用一元一次不等式解决问题

一元一次不等式组

把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组

不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集

求不等式组解集的过程叫做解不等式组

证明

定义与命题

判断一件事情的句子叫命题

如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题

当命题的条件成立时，不能保证结论总是正确的，像这样的命题叫做假命题

证明

数学中，探索发现的结论常常需要加以证明

根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明，经过证明的真命题叫做定理

举例证明

三角和内角和定理 三角形三个内角的和等于180°

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和

互逆命题

在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题是另一个命题的逆命题

八上

全等三角形

全等图形

能完全重合的图形叫做全等图形

全等三角形

两个能完全重合的三角形叫做全等三角形

全等三角形有对应顶点、对应边、对应角

全等三角形的对应边相等，对应角相等

探索三角形全等的条件

两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）

两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）

三边分别相等的两个三角形全等（SSS）

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）

轴对称图形

轴对称与轴对称图形

把一个图形沿某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形

轴对称的性质

垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线

成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分

设计轴对称图形

线段、角的轴对称性

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上

角平分线上的点到角两边的距离相等

角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上

等腰三角形的轴对称性

等腰三角形的两底角相等（“等边对等角”）

等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的平分线重合

有两个角相等的三角形是等腰三角形（“等角对等边”）

三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形

等边三角形的各角都等于60°

三个角都相等的三角形是等边三角形

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

勾股定理

勾股定理

直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方a²+b²=c²

勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形

勾股定理的简单应用

实数

平方根

如果x²=a,那么x叫做a的平方根,也称为二次方根，记作x=±√a

一个正数有两个平方根，它们互为相反数

0的平方是0

负数没有平方根

求一个数平方根的运算叫做开平方

一般地，如果一个正数x的平方等于a ，那么这个正数x叫做a的算术平方根即正数a的两个平方根中正的平方根√a叫做a的算术平方根

特别规定0的算术平方根是0

立方根

一般地，如果x³=a，那么x叫做a的立方根，也称为三次方根

求一个数的立方根的运算叫做开立方

正数的立方根是正数

负数的立方根是负数

0的立方根是0

实数

有理数和无理数统称为实数

近似数

近似数是指与准确数相近的一个数

取一个数的近似值有多种方法，四舍五入法是最常用的一种

平面直角坐标系

位置的确定

数学中，常常需要研究点的位置的确定

平面直角坐标系

平面内互相垂直的数轴（原点重合）构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系

水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向，迁直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上方向为正方向，两轴的交点O是原点

在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示。这样的有序实数对叫做点的坐标

两条坐标轴将平面分成的4个区域称为象限

一次函数

函数

在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量

一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值（有且只有一个）与它对应，那么我们称y是x的函数

在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标，对应的函数值为纵坐标的点组成的图像叫做这个函数的图像

一次函数

一般地，形如y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数

特别的，当b等于0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数

一次函数的图像

画图：（1）列表（2）描点（3）连线

在一次函数y=kx中 ： 如果k＞0，那么函数值y随自变量x增大而增大如果k<0，那么函数值y随自变量x增大而减小

一般地，正比例函数y=kx的图像是经过原点的一条直线，一次函数y=kx+b的图像可以由正比例函数y=kx的图像向上（b＞0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到

用一次函数解决问题

分析实际问题中变量与变量之间的关系，如果这种关系可以用一次函数表达式表示，那么就可以用一次函数的相关知识来解决实际问题

一次函数与二元一次方程

一般地，一次函数y=kx+b的图像上任意一点坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的解以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图像上

一般地，如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程的解

用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法

一次函数、一元一次方程和一元一次不等式

一次函数、一元一次方程和一元一次不等式有着紧密的联系

已知一次函数的表达式，当其中一个变量的值确定时，可以由相应的一元一次方程确定另一个变量的值：当其中一个变量的取值范围确定时，可以由相应的一元一次不等式确定另一个变量的取值范围

九下

二次函数

二次函数

一般地，形如y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数

通常，二次函数y=ax²+bx+c的自变量x可以是任意实数

二次函数的图像和性质

二次函数的图像都是抛物线

二次函数y=ax²的性质

二次函数y=ax²的图象是一条抛物线，抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴

当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，当x<0时，y随x增大而减小，当x>0时，y随x增大而减小当x=0时，y的值最小，最小值是0

当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，当x<0时，y随x增大而减小，当x>0时，y随x增大而减小当x=0时，y的值最大，最大值是0

用待定系数法确定二次函数表达式

如果一个点在函数的图像上，那么这个点的坐标适合函数的表达式。只要根据已知条件“图像经过点”，即可列出关于未知量的一次方程（组）

二次函数与一元二次方程

根据二次函数y=ax²+bx+c与一元二次方程ax²+bx+c=0的关系，我们可以由二次函数y=ax²+bx+c的图像确定一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况

如果二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根

如果二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴有且只有一个公共点，那么一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根

如果二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴没有公共点，那么一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根

用二次函数解决问题

图形的相似

图上距离与实际距离

在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么这四条线段叫做比例线段

在比例式a:b=b:c中，b叫做a和c的比例中项

黄金分割

”黄金分割“给人以美感，在建筑、艺术等领域有着广泛的应用

相似图形

形状相同的图形叫做相似图形

各角分别相等，各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形

相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似多边形的对应边的比叫做相似比

探索三角形相似的条件

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例

两角分别相等的两个三角形相似

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

三边成比例的两个三角形相似

三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心

重心是物理学中的一个概念

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1

相似三角形的性质

相似三角形周长的比等于相似比

相似多边形周长的比等于相似比

相似三角形面积的比等于相似比的平方

相似多边形面积的比等于相似比的平方

相似三角形对应线段的比等于相似比

图形的位似

两个位似多边形一定相似，并且它们的对应边互相平行（或在同一条直线上）

利用位似可以把一个图形按所给相似比放大或缩小

用相似三角形解决问题

在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影

在平行光的照射下，同一时刻，不同物体的物高与影长成比例

在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影

一般地，在点光源的照射下，同一个物体在不同的位置，它的物高与影长不成比例

锐角三角函数

正切、正弦、余弦

特殊角的三角函数



由三角函数求锐角

解直角三角形

由直角三角形的边、角中的已知元素，求出所有边、角中的未知元素的过程，叫做解直角三角形

用锐角三角函数解决问题

锐角三角函数揭示了直角三角形的边与角的关系，在许多实际问题中，我们可以根据其中的数量关系或位置关系找出（或构造出）一个直角三角形，利用锐角三角函数的相关知识解决问题

统计和概率的简单应用

一般地，从个体总数为N的总体中抽取容量为n的样本（n<N），且每次抽取样本时，总体中的每个个体被抽到的可能性相同，这种抽样方法叫做简单随机抽样

九上

一元二次方程

一元二次方程

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程

关于x的一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0（a、b、c是常数，a≠0）

一元二次方程的解法

直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法

把一个一元二次方程变形为(x+h)²=k（h、k为常数）的形式，当k≥0时，就可以用直接开平方法求出方程的解。这种解一元二次方程的方法叫做配方法

这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，把各项系数的值直接带入这个公式，若b²-4ac≥0时，方程有实数根。这种解二元一次方程的方法叫做公式法

当一个二元一次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法

一元二次方程根与系数的关系

用一元二次方程解决问题

对于有实数解方程的两个解，需判别是否符合题意

对称图形——圆

圆

在平面内把线段op绕着端点O旋转1周，端点P运动所形成的图形叫做圆

其中，点O叫做圆心，线段OP叫做半径

圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合

连接圆上任意两点的线段叫做弦

经过圆心的弦叫做直径

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧

圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆

大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧

顶点在圆心的角叫做圆心角

圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆

能够互相重合的两个圆叫做等圆

能够互相重合的弧叫做等弧（等弧仅存在于同圆或等圆之中）

同圆或等圆的半径相等

圆的对称性

圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等

圆心角的度数与它所对的弧的度数相等

圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线是它的对称轴

垂直于弦（不为直径）的直径平分线以及弦所对的两条弧

确定圆的条件

不在同一条直线上的三点确定一个圆

三角形的三个顶点确立一个圆

这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形

外接圆的圆心叫做三角形的外心

圆周角

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角

圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等

直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径

圆内接四边形的对角互补

圆内接四边形中任意一个内角，它的对角等于它的补角

直线与圆的位置关系

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

圆的切线垂直于经过切点的半径

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆

这个个三角形叫做圆的外切三角形

内切圆的圆心叫做三角形的内心

经过圆外一点的切线上，这点与切线之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长

切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等

正多边形与圆

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形

正多边形的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径

弧长及扇形的面积

圆锥的侧面积

数据的集中趋势和离散程度

平均数

叫做这n个数的算术平均数，简称为平均数

通常，平均数可以用来表示一组数据的”集中趋势“

一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的值有关，而且与各个数据的”重要程度“有关。衡量各个数据”重要程度“的数值叫做权

将各数值乘以相应的权，然后计算平均值所得的数叫做加权平均数

中位数与众数

一般地，将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数

如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数

一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数

平均数、中位数、众数都能刻画数据的集中趋势，在实际应用中，应根据需要恰当地进行选择

用计算器求平均数

方差

一组数据中最大值与最小值的差叫做极差，反映这组数据的变化范围

表示一组数据与它们平均数的差的平方的平均数，叫做方差，用来描述数据离散程度

一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大，一组数据的方差越小，说明这组数据的离散程度越小

标准差，即方差的算术平方根

用计算器求方差

等可能条件下的概率

等可能性

一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且仅有其中的一个结果出现

如果每个结果出现的机会均等，那么我们说着n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性

等可能条件下的概率

列表

树状图

直观地显示了一个随机事件在一次试验中所有可能的结果

八下

数据的收集、整理、描述

普查与抽样调查

为特定目的而对所有考察对象所做的调查叫做普查

为一特定目的而对部分考察对象所做的调查叫做抽样调查

我们把所考察对象的全体叫做总体

把组成总体的每一个考察对象叫做个体

从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本

样本中个体的数目叫做样本容量

普查通过调查总体中每个个体来收集数据，调查的结果准确，但往往花费多，工作量大，有些调查也不宜使用普查

抽样调查通过调查样本中每个个体来收集数据，花费较少，工作量较小，便于进行，但样本的抽取是否得当，直接关系到对总体的估计，为了获得较为准确的调查结果，抽样时要注意所选样本的代表性

统计图的选用

条形统计图用宽度相同的条形的高度描述个统计项目的数据

扇形统计图用圆中各扇形的面积描述各统计项目占总体的百分比

在扇形统计图中，扇形圆心角=该统计项目占总体的百分比×360°

折线图用折线描述数据的变化过程和趋势

在解决实际问题时，应根据实际需要选用合适的统计图

频数和频率

在统计数据时，某个对象出现的次数称为该对象的频数

频数与总次数的比值称为频率

频数分布表和频数分布直方图

将一组数据按观察值大小分为若干组，然后把数据分别划记到各相应的组中，统计每组中相应数据出现的频数，以表格形式表示，成为频数分布表

根据频数分布表，用横轴表示各分组数据，用纵轴表示各组数据的频数，绘制条形统计图。这样的条形统计图，直观的呈现了频数的分布特征和变化规律，称为频数分布直方图

在条形统计图中，横轴表示考察对象的类别，纵轴表示各类对象的数量

在频数分布直方图中，横轴表示考察对象数据的变化范围，纵轴表示相应范围内数据的频数

认识概率

确定事件与随机事件

在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件

在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件

必然事件和不可能事件都是确定事件

在一定条件下，很多事件我们事先无法确定它会不会发生，这样的事件是随机事件

可能性的大小

一般地，随机事件发生的可能性有大有小

频率与概率

一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率

如果用字母A表示一个事件，那么P(A）表示事件A发生的概率

必然事件A发生的概率是1，记作P(A)=1

不可能事件A发生的概率是0，记作P(A)=0

随机事件A发生的概率P(A)是0到1之间的一个数

一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的概率是随机事件自身的属性，反映这个随机事件发生的可能性大小

一般地，在一定条件下大量重复进行统一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动

在实际生活中，人们常把这个常数作为该随机事件发生的估计值

中心对称图形——平行四边形

图形的旋转

将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动成为图形的旋转

旋转不改变图形的形状、大小

一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等

中心对称与中心对称图形

一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心

一个图形绕着某一点旋转180°是一种特殊的旋转，成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质

成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中线平分

把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心

平行四边形

平行四边形的性质

平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分

证明

两组对边的四边形分别平行叫做平行四边形

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

对角线互相平分的四边形是平行四边形

反证法

不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个假设出发推导出矛盾的结果，因而命题的结论成立

矩形、菱形、正方形

矩形

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

矩形也叫长方形

矩形的四个角都是直角，对角线相等

三个角是直角的四边形是矩形

对角线相等的平行四边形是矩形

引申：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线之间的距离，两条平行线之间的距离处处相等

菱形

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

菱形的四条边相等，对角线互相垂直

四边相等的四边形是菱形

对角线互相垂直的平行四边形是菱形

正方形

有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形

有一组邻边相等的矩形是正方形

有一个角是直角的菱形是正方形

三角形的中位线

连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半

证明

倍长中线

相似三角形

引申：四边形的中位线

菱形（对角线垂直）的中位线连接成矩形

矩形（对角线相等）的中位线连接成为菱形

正方形（对角线垂直且相等）的中位线连接成为正方形

分式

分式

一般地，如果A、B（B≠ 0）表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式A/B叫做分式

其中A是分式的分子，B是分式的分母

分式可以表示现实生活中的一些数量关系

分式的值随分式中字母取值的变化而变化

分式的分母不能为0，否则分式无意义

分式的基本性质

分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变 A/B=A×C/B×C, A/B=A÷C/B÷C

其中C是不等于0的整式

把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式，叫做分式的约分

通过约分可以把分式化简

如果一个分式的分子与分母只有公因式1，那么这样的分式叫做最简分式

把几个异分母的分式变形成同分母的分式，叫做分式的通分

类比分数

如果几个分式的分母都是单项式，那么各分母系数（都是整数）的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫做这几个分式的最简公分母

分式的加减

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减

异分母的分式相加减，先通分，再加减

分式的乘除

分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘

分式方程

分母中含有未知数的方程叫做分式方程

使原方程分母的整式为0解得的根叫做原分式方程的增根，此时原方程无解

由于解分式方程可能产生增根，因此分式方程必须对解得的根进行检验

反比例函数

反比例函数

一般地，形如y=k/x (k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数其中x是自变量，y是x的函数)

反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数

反比例函数的图像与性质

步骤：列表描点连线（平滑的曲线）

反比例函数y=k/x (k为常数，k≠0）的图象是双曲线

当k>0时，双曲线的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小 当k<0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大

反比例函数两支图像关于原点对称

在一个反比例函数图像上任取两点，过原点分别作x轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为|k|

用反比例函数解决问题

反比例函数是刻画现实世界数量关系的一种数学模型

二次根式

二次根式

一般形如√a（a≥0）的代数式叫做二次根式，a叫做被开方数

(√a)²=|a|

当a≥0时，(√a)²=a

二次根式的乘除

化简后得到的二次根式叫做最简二次根式

被开方数中不含能开得尽方的因数或因式

被开方数中不含分母

分母中不含有根号

二次根式的加减

经过化简后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式

二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式