数学物理方程(数理方程)

数学物理方程(数理方程)课程知识点、考点总结。包括：数学&物理基础；—.概论；二.分离变量法；三.行波法；四.积分变换法。考前复习可用，需要自取。

数理方程

• 数学&物理基础
  • 通量&环流
    • 通量
      • 通过一个曲面的某种流量
    • 环流
      • 某量(电场)沿闭合路径的线积分
  • 哈密顿算子
    • 作用标量函数——梯度grad
    • 点乘矢量函数——散度div
      • 无穷小曲面的通量
    • 叉乘适量函数——旋度curl
      • 无穷小非闭合曲面的环流和曲面面积之比
  • 磁感应强度
    • 磁场强度&磁感应强度
  • 电磁场与电磁波
    • 电场E/磁场B满足麦克斯韦方程组：
      • 定律
        • 静电：高斯电场定律 积：穿过闭合曲面的电通量正比于该曲面包含的电荷量 微：电场在某点的散度与该点的电荷密度成正比
        • 静磁：高斯磁场定律 积：穿过闭合曲面的磁通量恒为零 微：磁场的散度处处为零
        • 磁生电：法拉第定律 积：穿过曲面的磁通量变化率等于感生电场的环流 微：某一点感生电场的旋度等于磁感应强度的变化率
        • 电生磁：安培-麦克斯韦定律 积：穿过去面对的电通量变化率与曲面包含的电流等于感生磁场的环流 微：某一点感生磁场的旋度等于电流密度和电场强度变化率之和
      • 积分形式
        • 静电：
        • 静磁：
        • 磁生电：
        • 电生磁：
      • 微分形式
        • 静电：
        • 静磁：
        • 磁生电：
        • 电生磁：
    • 电磁波
      • 子主题
      • 子主题
        • 子主题
  • 函数正交
  • 卷积
    • 定义：
    • 定义：
    • 性质：
  • 常用微分方程求解公式
    • 一阶
      • 一阶线性(齐次&非齐次)
        • 解法：
      • 可分离变量
        • 解法：
      • 齐次方程
        • 解法：
      • 伯努利方程
        • 解法：
      • 全微分方程
        • 解法：
    • 高阶
      • 可降阶
        • 形如：
          • 解法：
        • 形如：
          • 解法：
      • 高阶线性(常系数)
        • 齐次
          • 解的结构：
          • 解法：
          • 特征根λ形式—>通解
            • λ都是单根：
            • λ有重根：
            • λ有负数根： (λ=α±βi)
        • 非齐次
          • 解法：齐次方程通解+非齐次方程特解
          • • 特解：
            • k = 0 ; 当 α ≠ λi , i = 1,2,...,n k = 1 ; 当 α = λi , i ∈ {1,2,...,n} k = 2 ; 当 α = λi = λj , i ≠ j ; i , j ∈ {1,2,...,n}
          • • 特解：
            • k = 0 ; 当 α ± βi ≠ λi k = 1 ; 当 α ± βi = λi
  • 常用三角公式
    • 周期积分为零：
    • 三角函数周期性：
    • 积化和差：
    • 三角正交性：
      • 结论：
      • 证明：
        • 1.
        • 2.
        • 3.
          • 积化和差：
        • 4.
          • 积化和差：
        • 5.
          • 积化和差：
• 一.概论
  • 偏微分方程
    • 波动方程 (对时间二阶偏微分)
      • 1D，弦横向振动/ 　　细杆纵向振动
      • 2D，薄膜横向振动
      • 3D，电磁波真空传播
    • 热传导方程、输运方程 (对时间一阶偏微分)
      • 1D，均匀细杆热传导
      • 2D，薄片热传导
      • 3D，均匀物体热传导
    • 泊松方程、拉普拉斯(调和)方程 (与时间变量无关)
      • 泊：静电场
      • 拉\调：不可压所流体无旋运动
      • 拉\调：无源静电场
  • 定解条件
    • 边界条件
      • 第一类边界条件(Dirichlet边界条件)
      • 第二类边界条件(Neuman边界条件)
      • 第三类边界条件(Robin边界条件)
      • 其他边界条件
        • 无穷远条件
        • 非局部条件
        • 衔接条件
        • 自然边界条件
        • 周期性条件
    • 波动方程定解条件
      • 边界条件
        • 第一类边界条件
        • 第二类边界条件
        • 第三类边界条件
      • 初值条件
    • 热传导方程定解条件
      • 边界条件
        • 第一类边界条件
        • 第二类边界条件
        • 第三类边界条件
      • 初值条件
  • 方程分类
    • 抛物型方程：
    • 椭圆型方程：
    • 双曲型方程：
  • 问题分类
    • 初值问题\柯西问题 只有初始条件，没有边界条件
    • 边值问题 没有初始条件，只有边界条件
    • 混合问题 既有初始条件，也有边界条件
  • 定解问题适应性
    • 解的存在性
    • 解的唯一性
    • 解的稳定性
    • 解其他性质
      • 解得正则性(光滑性)
      • 解的渐进性(衰减性)
• 二.分离变量法
  • 分离变量含义：
    • 分离为单变量函数之积
  • 分离变量步骤：
    • 1.边界条件齐次化
    • 2.根据齐次方程边界、初值分离变量， 导出X＆T常微分方程
    • 3.由齐次返程边界&关于X常微分方程，求特征函数&特征值
    • 3.Ｘ特征值带入T常微分方程求T （热传导方程1个待定系数） （弦振动方程2个待定系数）
    • 4.X&T相乘叠加求通解
    • 5.带入齐次方程边界、初值确定系数
    • 6.齐次化原理求非齐次初边值问题
  • 几种边界条件类型 特征函数&特征值
    • 均为第一类边界条件
    • 起点第一类边界条件 终点第二类边界条件
    • 起点第二类边界条件 终点第一类边界条件
    • 均为第二类边界条件
    • 其他边界条件
  • 非齐次边界条件齐次化
    • 思路
      • 选取适当辅助函数w，令u=w+v，使关于v的定解问题具有齐次边界条件
    • 步骤
      • 令u=w+v
      • 由w使v具有齐次边界条件
    • 几种边界条件类型的齐次化（选w）
      • 均为第一类边界条件
      • 起点第一类边界条件 终点第二类边界条件
      • 起点第二类边界条件 终点第一类边界条件
      • 均为第二类边界条件
      • 其他边界条件
• 三.行波法
  • 定义：
  • 达朗贝尔
    • 达朗贝尔解 物理意义
    • 达朗贝尔公式：
    • 类达朗贝尔公式
  • 特征线法步骤
    • 1.特征方程
    • 2.因式变换
    • 3.特征变化
    • 4.代入方程
    • 5.求得通解
    • 6.条件带入通解求解
• 四.积分变换法
  • 定义：
  • 适用形式：
  • 傅里叶变换定义
    • 适用条件：
    • 正变公式：
    • 逆变公式：
    • 性质：
      • 线性性：
      • 平移性：
      • 伸缩性：
      • 微分性：
      • 多项式相乘：
      • 卷积性：
      • 对称性：
      • 积分性：
    • 例题：
  • 傅里叶变换应用
    • 1D，热传导，初值问题
    • nD，热传导，初值问题
    • 1D，弦振动，初值问题
    • 拉普拉斯方程，边值问题
  • 拉普拉斯变换定义
    • 适用形式：
    • 正变公式：
    • 逆变公式：
    • 性质
      • 线性性：
      • 第一位移性：
      • 相似性：
      • 微分性：
      • 积分性：
      • 多项式相乘：
      • 第二位移性：
      • 卷积性：
  • 拉普拉斯变换应用
    • 半直线 热传导
    • 弦振动
    • 杆纵振动
  • 积分变换步骤
    • 1.由变量取值范围选择变换
    • 2.求解U(x,t)
    • 3.逆变U(x,t)得u