微分方程

高等数学微分方程相关知识点总结，包括微分方程的基本概念、可分离变量的微分方程、变量代换法、一阶线性微分方程等内容。

微分方程

• 微分方程基本概念
  • 任意常数的个数与微分方程的阶数相同叫做微分方程的通解
• 可分离变量的微分方程
  • step1 化成形式 dyQ（x）=dxQ（x）
  • step2 两边进行不定积分
    • 别忘了加常数
• 齐次方程
  • step1 形式 dy/dx=Q（y/x）
  • step2 做变换 u=（y/x）
  • step3 化为可分离变量的微分方程y=ux dy/dx=u+du/dx
  • step4 代入原方程 u+du/dx=Q(u)
  • step5 分离变量得出u
  • step6 带回y/x=u可得到方程通解
• 一阶线性微分方程
  • 形式 dy/dx+P(x)y=Q(x)
  • step1 如果是非齐次方程先求对应齐次方程的通解 dy/dx+P(x)y=0
  • step2 得到通解y=C M(x)
  • step3 常数变易法把C换成u y=u M(x) 进行求导得出dy/dx =……
  • step4 dy/dx =……带入1式并两端不定积分得出u=
  • step5 再把u= 带入2式
  • 如果想快速得到结果可以参考课本316页公式
• 可降阶的高阶微分方程
  • 形式 ：方程右边只有自变量x , 方法 连续积分n次
  • 形式 ：方程右边没有未知函数y
    • 方法 step1设y'=p=dy/dx ,则y''=p'=dp/dx 原方程变为p'=f(x,p)
      • 关于f（x）的函数
    • step2 得到通解 p=G(x ,C) 又因为p=dy/dx
    • step3 dy/dx=G(x,C)
      • 关于G(x)的函数
    • step4 y=……+C得到通解
    • 总结 一次假设+两次分离变量(p与x ,y与x ) 联系原方程找恒等关系
  • 形式：方程右边没有自变量x
    • step1 令 y'=p因为y=y(x), p=p(y)=p(y(x)) 所以y''=p'=dp/dx=dp/dy×dy/dx=dp/dy×p
      • 复合函数求导，先外层函数求导，后内层函数求导=外层函数比中间变量:中间变量比外层函数
      • 如果实在不理解就牢记y''=dp/dy ×p
    • step2 带入原方程dp/dy×p=f(y,p)分离变量
    • step3得到通解y'=p=H(y,C),利用y'=dy/dx再次分离变量
    • step4 积分后得到通解
      • 每次分离变量后都需要不定积分
      • 每次分离变量后都需要不定积分
    • 总结 一次假设，两次分离变量+复合函数求导原理
• 高阶线性微分方程
• 常系数齐次线性微分方程
• 常系数非齐次性线性微分方程