随机变量及其分布

概率论与数理统计中的随机变量及其分布：1.随机变量及其分布：样本空间上的实值函数、单点分布、退化分布、连续、概率密度函数；2.随机变量的数学期望。

随机变量及其分布

• 1.随机变量及其分布
  • 随机变量
    • 样本空间上的实值函数
      • 离散随机变量
      • 连续随机变量
  • 分布函数
    • X服从F(x)
      • X~F(x)
    • F(x)=P(X<=x)
    • 基本性质
      • 单调性
      • 有界性
      • 右连续性
  • 离散、概率分布列
    • 单点分布、退化分布
      • 仅取一个值的随机变量X
  • 连续、概率密度函数
    • 均匀分布
• 2.随机变量的数学期望
  • 1.期望概念
    • 期盼的愿望
  • 2.期望定义
    • 离散随机变量期望
    • 连续随机变量期望
  • 3.期望性质
    • E(c)=c
    • E(aX)=aE(X)
    • 合式可分解
    • 函数的数学期望定理
      • 离散场合
      • 连续场合
  • 平均
    • 算术平均
    • 加权平均
• 3.随机变量的方差与标准差
  • 方差的定义
    • 偏差平方的数学期望
  • 标准差
    • 方差的正平方根
  • 方差的性质
    • 1.方差=平方的期望—期望的平方
    • 2.常数方差为0
    • 3.系数平方提出，常数剔除
  • 切比雪夫不等式
    • ≥ε的偏差的绝对值的概率≤ε平方分之方差
    • ＜ε的偏差的绝对值的概率≥1—ε平方分之方差
    • 大偏差、大偏差发生概率
• 随机变量函数的分布
  • 离散随机变量函数的分布
  • 连续随机变量函数的分布
    • 1.离散随机变量
    • 2.严格单调函数
  • 定理
    • 1.严格单调反函数定理
    • 2. Y=ax+b定理
    • 3.对数正态分布定理
    • 4.伽马分布定理
    • 5.严格单调增连续函数定理
• 常用连续分布
  • 1.正态分布
    • X~N(μ,σ^2)
    • 标准正态分布
      • N(0,1)
    • 正态变量的标准化
    • 期望与方差
      • μ
      • σ^2
  • 2.均匀分布
    • X~U(a,b)
    • 期望和方差
      • (a+b)/2
      • (b—a)^2/12
  • 3.指数分布
    • X~exp(λ)
    • 寿命分布、偏态分布
    • 期望和方差
      • 1/λ
      • 1/λ^2
  • 4.伽马分布
    • 伽马函数
    • 伽马分布
    • 期望和方差
      • α/λ
      • α/λ^2
    • 两个特例
      • α=1
      • α=n/2,λ=1/2
  • 5.贝塔分布
    • 贝塔函数
    • 贝塔分布
    • 期望和方差
      • a/(a+b)
      • ab/(a+b)^2(a+b+1)
• 常用离散分布
  • 1.二项分布
    • 二项分布
      • X~b(n,p)
    • 2.两点分布
      • n=1时的二项分布B(1,p),也称0-1分布、伯努利分布
    • 期望和方差
      • E(X)=np
      • var(X)=np(1—p)
  • 2.泊松分布
    • X~P(λ)
    • 期望和方差
      • λ
      • λ
    • 泊松定理
      • n很大，p很小
  • 3.超几何分布
    • X~h(n,N,M)
    • 期望和方差
      • E(X)=n•M/N
      • nM(N—M)(N—n)/N^2(N—1)
    • 二项近似
  • 4.几何分布与负二项分布
    • 几何分布
    • 期望和方差
      • E(X)=1/p
      • 1—p/p^2
    • 几何分布的无记忆性
    • 负二项分布
      • X~NB(r,p)
      • 期望和方差
        • r/p
        • r(1—p)/p^2