圆锥曲线思维导图

高中数学之圆锥曲线知识总结，主要包括抛物线、曲线与方程、圆锥曲线的应用、双曲线、椭圆等的相关内容。

圆锥曲线

• 抛物线
  • 抛物线的标准方程
    • 在平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹
    • 焦点：定点F
    • 准线：定直线l
  • 抛物线的简单几何性质
    • 范围
      • 抛物线y^2=2px，(p>0)在y轴右侧，向右上方和右下方无限延伸
    • 对称性
      • 抛物线的标准方程关于x轴对称，每一条抛物线有唯一一条对称轴，称为抛物线的轴
    • 顶点
      • 抛物线与它对称轴的交点，称为抛物线的顶点
    • 离心率
      • 定义
        • 抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离之比，用e表示
      • 范围
        • e=1
• 曲线与方程
  • 某曲线C上的点与一个二元方程f=(x,y)具有以下关系，那么这个方程就叫曲线的方程，这条曲线就叫方程的曲线
    • 曲线上点的坐标都是这个方程的解
    • 以这个方程的解为坐标的点都是这个曲线上的点
• 圆锥曲线的应用
  • 天体运动的轨道
  • 斜抛物体的轨迹
  • 光学性质及其应用
  • 圆锥曲线在现代建筑中的体现
• 双曲线
  • 双曲线的标准方程
    • 定义：平面上与两点距离的差的绝对值为常数（小于|F1F2|）的动点轨迹
    • 焦点：两个定点F1，F2
    • 焦距：两焦点间的距离|F1F2|
    • 当焦点在x轴时的标准方程
      • x^2/a^2-y^2/b^2=1，(a>b>0)
    • 当焦点在y轴时的标准方程
      • y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)
  • 双曲线的简单几何性质
    • 范围
      • x≤-a或x≥a，y∈R
      • 双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1，(a>b>0)处于两条相交直线y=+bx/a所围成的，包含x轴在内的两个区域中，并且在直线x=-a，x=a所围成的区域外侧
    • 对称性
      • 双曲线有两条对称轴，即x轴和y轴；有一个对称中心，即原点，双曲线的对称中心为双曲线的中心
    • 顶点
      • 双曲线标准方程中，与它的对称轴x轴的两个交点，称为双曲线的顶点
      • 实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距2c
    • 渐近线
      • 当焦点在x轴时：y=+bx/a
      • 当焦点在y轴时：y=+ax/b
    • 离心率
      • 定义
        • 双曲线的焦距与实轴长的比，用e表示，即e=c/a
      • 范围
        • e>1
      • 含义
        • e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大
• 椭圆
  • 椭圆的标准方程
    • 定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹
    • 焦点：两个定点F1，F2
    • 焦距：两焦点间的距离|F1F2|
    • 当焦点在x轴时的标准方程
      • x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)
    • 当焦点在y轴时的标准方程
      • y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)
  • 椭圆的简单几何性质
    • 范围
      • 椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)位于四条直线x=+a，y=+b所围成的矩形内
    • 对称性
      • 椭圆的标准方程关于x轴，y轴及原点对称。坐标轴为椭圆对称轴，坐标原点是其对称中心，也叫椭圆的中心
    • 顶点
      • 椭圆与两条对称轴的焦点叫做椭圆的顶点
    • 离心率
      • 定义
        • 椭圆两焦点间的距离和长轴长度的比值，用e表示，即e=c/a
      • 范围
        • 0<e<1
      • 意义
        • 离心率反映椭圆的扁平程度，e越接近于1，椭圆越扁平，相反，椭圆越接近于0，椭圆越圆，当且仅当a=b时，c=0，椭圆变为圆，方程为x^2+y^2=a^2