导图社区 数与运算
一张思维导图带你学习数与运算,知识内容有数的产生、运算与数、小数、分数、负整数、自然数、四则运算等方面。
编辑于2022-04-03 17:49:17数与运算
数的产生
运算与数
自然数
1自然数的两重属性
基数属性:表示一个集合一共有几个元素,即表示元素的总个数,例如3表示集合{a,b,c}有3个元素; 序数属性:当一个集合中的元素按一定顺序排列时,表示某个元素的顺序,在第几个的位置上,比如元素c是集合{a,b,c}的第3个元素。
.2 自然数的基数理论
基数:表示集合中元素个数的数。有限集合的基数叫作自然数
自然数的序数理论
一个集合N的元素间有一个基本的关系——后继(用 表示),并满足下列四条公理: (1) 1∈N,对任意 a∈N , ≠1; (2)任何a∈N ,有唯一的后继 (即a=b⇒ = ); (3)除1以外的任何元素,只能是一个元素的后继( = ⇒a=b); (4)若M⊆N ,且① 1∈M ,② a∈M⇒ ∈M,那么M=N。 那么集合N的元素,就叫做自然数以皮亚诺公理为基础,可以对自然数的加法进行归纳定义: (1)设a N,则 a+1= ; (2)设a、b N,则a+ = 。其中,a和b叫作加数,a+b叫作它们的和。 以皮亚诺公理为基础,可以对自然数的乘法进行归纳定义: (1)设a N,则a×l=a; (2)设a、b N ,则 a× = a×b+a 。其中,a叫作被乘数,b叫做乘数, a×b(或记作 a·b 、ab)叫作它们的积。 根据自然数的加法,可以定义任意两个自然数的大小关系。 如果a、b N ,存在 k N ,使得 a+k=b ,那么称a小于b ,记作 a<b ,也称b大于a ,记作 b>a。
计数与读数
十进制计数法:包括“十进位”和“位值制”两条原则。 十进位:满十进一相邻两个计数单位之间的进率为十。 位值制:同一个数字在不同的位置上表示的数值不同,例如“22”中,前一个2表示两个十,后一个2表示两个一。 按照十进制计数法,我国是按“四位一级”给自然数命名的,具体如下。 ①自然数的前十个数给予单独的名称,即 O 、一、二、三、四、五、六、七、八、九,对应的大写为零、壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖,对应的阿拉伯数字为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。 ②按照“满十进一”的原则规定计数单位,十个一叫作十,十个十叫作百,十个百叫作千,十个千叫作万,十个万叫作十万,十个十万叫作百万,十个百万叫作千万,十个千万叫作亿,十个亿叫作十亿,依次为百亿、千亿、兆,………十、百、千、万、亿的大写分别为拾、伯、仟、万、亿。其中,个、十、百、千为个级,万、十万、百万、千万为万级,之后依次为亿级,…… ③其他自然数的命名,由前十个数和计数单位组合而成。写数的时候,各计数单位对应写上数字。 比如,一个自然数由三个千万两个十万九个千三个百四个一构成,写作30209304,读作:三千零二十万九千三百零四。如果一个自然数由四个千亿三个亿三个百构成,写作400300000300,读作:四千零三亿零三百。 不含有0的数,从低位到高位进行四位分级,然后从高位起,顺次读出各级里的数和它们的级名,例如,8524读作“八千五百二十四”,9647531读作“九百六十四万七千五百三十一”。 含有0的数,从低位到高位进行四位分级,然后从高位起,顺次读出各级里的数和它们的级名,每一级中间的0只读一次,每一级末尾的0不读。 比如,3500读作“三千五百”,3010读作“三千零一十”,307001读作“三十万七千零一”,5040030500读作“五十亿四千零三万零五百”。
四则运算
加法
运算性质
加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变。即a+b=b+a。 加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,再加第三个数,或者先把后两个数相加,再加第一个数,它们的结果不变。即(a + b)+ c = a +(b + c)。 拓展一:若干个数相加,任意交换加数的位置,或者先把其中任意几个加数作为一组加起来,再与其他加数相加,它们的和不变。 拓展二:若干个数的和加若干个数的和,可以先把第一个和中的数分别加第二个和中的数,再把所得的和加起来。即 。 和不变的性质:两个数相加,其中一个加数加上某个数,另一个加数减去相应的数,和仍然不变,用数学语言表示是:若a+b=c ,那么(a ± m)+(b∓m)= c 。
运算法则:
①一位数加一位数,可用数数的方法求和;但在通常情况下,把两个一位数相加的结果编成加法表,直接使用。 ②多位数加多位数(含一位数),把两个加数写成十进制和的形式,按照运算性质拓展二,转化为一位数加一位数进行运算,某位上满十向前进一。
减法
定义
设有两个集合 A , B ,且满足 B⊆A ,其中集合 A 的基数为自然数 a ,集合 B 的基数为自然数 b ,集合 A 与 B 的差集的基数定义为 a - b 。也就是说,自然数 a 与 b 相减的差 a - b 是指集合 A 与 B 的差集 A - B 的基数。由减法的定义,可以得到下面两个推论: 推论一:某数减去一个数,再加上同一个数,仍得原数。即(a - b)+ b = a 。证明设a - b = c ,那么b + c = a 。于是(a - b)+ b = c + b = b + c = a 。 推论二:某数加上一个数,再减去同一个数,仍得原数。即(a + b)- b = a 。证明设 a + b = c ,那么 c - b = a 。于是( a + b )- b = c - b = a 。
运算性质
性质一:一个数减去两个数的和,等于从这个数中依次减去和里的每一个加数。就是: a -(b+c)= a - b - c 。 性质二:一个数减去两个数的差,等于这个数先加上差里的减数,再减去差里的被减数,或者等于先减去差里的被减数,再加上差里的减数。就是: a -( b - c )= a + c - b = a - b + c 。 性质三:若干个数的和减去若干个数的和,等于第一个和中的各个加数,分别减去第二个和中不比它大的加数,再把所得的差加起来。就是: ( ,i =1,2,…, n )。
运算法则
1)表内减法。计算减法最初级的方法是“倒着数数”。比如,要计算8-3,就从8往回数3个数,依次为7,6,5,结果就是5,因此8-3=5。 (2)表外减法。当数很大时,我们一个一个地数数,需要花很长时间,也不可能用表内加法进行计算。于是人们便发明了笔算减法,其本质是十进制计数法的“位值原理”。
乘法
定义
:集合A与集合B的笛卡儿集(A×B)定义为A×B={(a,b)│a∈A,b∈B}。也就是说,从集合A与B中各取出一个元素,构成有序数对(a ,b), A×B就是有序数对构成的集合。
运算性质
结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,再与第三个数相乘,或者先把后两个数相乘,再与第一个数相乘,它们的积不变。即(ab)c = a(bc)。 证明 a× ( b×c ) = a ( b + b +…+ b ) → (c个b相加) = ab + ab +…+ ab → (c个ab相加) =( a×b )×c 。 分配律:两个数的和与一个数相乘的积,等于和里的每一个加数与这个数相乘,再把所得的积加起来。即( a + b ) c = ac + bc 。 证明( a + b )×c =( a + b )+( a + b )+…+( a + b ) → c个(a+b)相加 = a + a +… +a + b + b +…+ b → c个a相加与c个b相加 = a ×c + b×C 。 积不变的性质:两个数相乘,其中一个乘数扩大某个倍数,另一个乘数缩小至相同的几分之一,积仍然不变。即若 a×b = c ,那么(a×m)×(b÷m)= c 。 如果以“积不变的性质”为基础,可以证明乘法交换律和结合律(作业)。此外,我们在进行乘法的简便运算时,常常使用积不变的性质先凑整再计算。
运算法则
(1)表内乘法:关于乘法的运算,当数比较小时,可以借助加法来计算。 比如4×6=4+4+4+4+4+4=24,用得多了,便成为口诀"四六二十四“。所有一位数乘一位数的结果,汇编成乘法口诀,就是我们通常说的“九九乘法表” (2)表外乘法:多位数乘一位数将多位数用十进制计数法表示,转化为若干个数的和乘一位数,再根据乘法分配律计算。比如, 358×6=(3×100+5×10+8)×6=18×100+30×10+48=1800+300+48=2148。 多位数乘整十(百、千)的数:将整十(百、千)的数用十进制计数法表示,将问题转化为多位数乘一位数。 比如,358×60=358×(6×10)=358×6×10=2148×10=21480。 多位数乘多位数:将第二个乘数用十进制表示,再利用乘法分配律把问题转化为前三类计算。
除法
定义
在数学上,一般借助乘法来定义除法。已知两个数 a 和 b ,求一个数 q ,使得 q 与 b 的积等于 a ,这种运算叫作除法,记作: a ÷ b = q ,读作: a 除以 b 等于 q ,其中, a 叫作被除数, b 叫作除数, q 叫作 a与b的商,“÷”叫作除号。
运算性质
性质一:一个数除以两个数的积,等于这个数依次除以积里的每一个乘数。 即 a ÷( b×c )= a ÷ b ÷ c 。 性质二:一个数除以两个数的商,等于这个数先乘商里的除数,再除以商里的被除数,或者等于先除以商里的被除数,再乘商里的除数。即 a ÷( b ÷ c )=a × c ÷ b = a ÷ b × c 。 性质三:若干个数的和除以一个数,等于和里的每一个数除以这个数,再把所得的商加起来。(可以看做除法满足分配率) 商不变的性质: 两个数相除,被除数和除数同时扩大或者缩小相同的倍数,商仍然不变。即若 a÷b = c ,那么( a×m )÷( b×m )= c 。 如果把“商不变的性质”作为基础,可以推导去括号法则。 比如,对于a÷( b÷c )=( a×c )÷( b÷c×c )= a×c÷b = a÷b×c 。 同时,今后学习的“分数的基本性质”“分数除法”“正比例”“正比例函数”和“小数除法”的基础就是除法“商不变的性质”。 比如,计算分数除法 此外,我们在进行除法的简便运算时,常常使用商不变的性质先凑整再计算。
运算法则
(1)表内除法: 根据乘法表(乘法口诀)来计算的除法称为表内除法。比如,要计算8÷2,可以根据2×4=8,得出8÷2=4。再如,要计算15÷5,可以根据3×5=15,得出15÷5=3。 (2)表外除法: 利用十进制计数法把被除数写成不同计数单位的数字之和的形式,将算式转化为多个数的和除以一个数,再根据性质三进行计算。如果某一位不能整除,则自动向下一位转移。
四则混合运算
(1)在没有括号的算式中,如果为同一级运算,则从左向右依次进行运算;如果为非同一级混合运算,则先算乘除,后算加减。 (2)在有括号的算式中,先算括号里面的算式,再算括号外面的算式;如果有多种括号,先算小括号里面的算式,再算中括号里面的算式,最后算大括号里面的算式。
负整数
定义
定义:对任意一个非零的自然数 n ,我们引进一个数 -n 与之对应,满足 n +(- n )=(- n )+ n =0,这里的﹣ n ( n∈N , n ≠0)叫作负整数,简称负数。
整数运算
(1)正数×正数,仍然按照自然数的方式进行,即 a×b = ab ; (2)正数×负数, a×(- b )= a×(0-b)= a×0- a×b =0- ab =- ab (其中第二个等号成立的依据是乘法分配律,第四个等号的依据是负整数的定义); (3)负数×正数,(- a )× b =(0- a )× b =0×b- a × b =0- ab =- ab ; (4)负数×负数,(- a)×(- b)=(0- a)×(- b)=0×(- b)- a×(- b)=0-a(- b )=- a (- b)=-(- ab)=-(0- ab)= ab -0= ab
整数性质
整数集构成一个环,称为整数环。 数环是数集的一种代数结构,
特殊整数
子主题
分数
分数的份数定义
分数的比定义
分数的商定义
分数的形式化定义
分数的性质
分数的相等与不想等
分数的基本性质
约分和通分
分数的四则运算
分数的加法和减法
乘法
除法
小数
定义
小数,是由整数、小数点、以及小数点后的数字部位所组成的一种实数,作为一种特殊的实数形式,所有的分数都可以表示成小数的样式。 小数中的小数点,整数部位与小数部位的分界点,小数点左边的数字部分是大于或等于零的整数部分,小数点的右侧部位是小于零的小数部分。 如果一个小数的小数点左侧的整数部位为零,我们一般会称这个小数为纯小数。 当小数点左侧的整数部位不为零的时候,我们一般称这个小数为带小数。 一般小数会被我们分为两大类型: 有限小数,就是指小数点后部位的数字个数是限定可数的, 无限小数,就是小数点后的部位是无法限定,是不可数的。
性质
小数末尾添上或去掉几个零,小数的大小不变 小数中小数点的移动会引起小数。大小的变化。
小数大小的比较
有限小数大小的比较方法与整数大小比较的方法相同,都是从高位比起,相同数位上的数相比较。但对小数而言,可以先比较其整数部分,整数部分大的小数就大。如果整数部分相同,则比较十分位上的数,十分位上的数大的小数就大。如果十分位上的数也相同,则比较百分位上的数………直到最后比较出两数的大小,如果所有数位上的数都相同,那么这两个小数相等。
小数与分数的互化
化分数为小数
化小数为分数
将无限循环小数化为分数
子主题
有限小数的四则运算
小数的加法减法
乘法
除法
小数除以整数
小数除以小数
一般而言,对于加法和减法,如果分数能化为有限小数,那么就把分数化为小数进行计算比较简便;如果分数不能化为有限小数,那么把小数化为分数进行计算能得到准确的结果。对乘法和除法而言,一般是把小数化为分数再进行计算比较简便。