高中数学选择性必修三第九章随机变量

随机变量表示随机试验各种结果的实值单值函数。随机事件不论与数量是否直接有关，都可以数量化，即都能用数量化的方式表达。

随机变量及其分布

• 条件概率与全概率公式
  • 全概率公式和贝叶斯公式
    • 全概率公式 p(B)=Σi从1到n p(Ai)p(B|Ai)
      • 由因推果
    • 贝叶斯公式 p(Ai|B)=p(Ai)p(B|Ai)/p(B)
      • 执果索因
        • 在已知某结果发生的条件下，探求各原因发生可能性大小
  • 条件概率
    • 定义
      • p(B|A)=p(AB)/p(A) p(A)＞0
    • 独立事件条件概率公式
      • A B相互独立时候 p(B|A)=p(B)
    • 概率乘法公式
      • p(AB)=p(A)p(B|A)
    • 性质
      • p(Ω|A)=1
      • 若BC互斥 则p(BUC|A)=p(B|A)+p(C|A)
      • 设B C为互为对立事件，则p(B|A)=1－p(C|A)
    • 探求方法
      • 基于样本空间，计算p(A)和p(AB),再根据条件概率公式求解
      • 将样本空间缩小为A
• 二项分布与超几何分布
  • 二项分布
    • 伯努利试验
      • 只包含两个可能结果
    • n重贝努利试验
      • 一个伯努利试验独立重复进行n次
      • 特征
        • 同一个伯努利试验重复做n次
        • 各次试验结果相互独立
    • 二项分布
      • p(X=k)=Cn kp的k次方(1－p)的n－k次方，其中k=0，1，2，…,n
      • X~B(n,p)
    • 均值
      • E(X)=np
    • 方差
      • D(X)=np(1－p)
  • 超几何分布
    • p(X=k)=CM kCN-M n-k/CN n k=m,m+1,…,r
    • 参数的取值
      • n,N,M∈N*
      • M≤N,n≤N
      • m=max｛0,n－N+M｝ r=min｛n,M｝
    • 参数的含义
      • M
        • 特殊个体
      • n
        • 样本容量
      • N
        • 总体中的个体数
      • k
        • 样本中特殊个体数
    • 特征
      • 总体样本点被分成两类
      • 不放回抽取
    • 均值
      • E(X)=np
    • D(X)=nM(N-M)(N-n)/N²(N-1)
• 正态分布
  • 正态分布
    • 连续性随机变量
      • 取值充满某个区间甚至整个实轴
      • 取一点的概率为0
    • 正态密度函数
      • f(X)=1/σ√2π e的-(x-μ)²/2σ²次方
      • 正态曲线
        • 对任意x∈R,f(X)＞0,图像在x轴上方
        • x轴和曲线之间区域面积为1
    • 正态分布
      • X~N(μ,σ²)
      • 标准正态分布
        • μ=0，σ=1
  • 正态曲线特点
    • 曲线是单峰的，关于x=μ对称
    • 曲线在x=μ处达到峰值1/σ√2π
    • 对任意σ＞0，曲线与x轴围成的面积为1
    • σ为定值时候
      • 曲线随着μ的变化沿着x轴平移
    • μ取定值时候
      • σ小
        • 曲线瘦高
      • σ大
        • 曲线矮胖
          • 简称“马大胖”
    • 正态分布数字特征
      • E(X)=μ
      • D(X)=σ²
  • 3σ原则
    • p(μ－σ≤X≤μ+σ)≈0.6827
    • p(μ－2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545
    • p(μ－3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973
    • 通常认为正态分布随机变量X只取[μ－3σ，μ+3σ]中的值，成为3σ原则
  • 概率计算
    • 熟记0.6827 0.9545 0.9973三个值
    • 对称性
      • p(X＞μ)=p(X＜μ)=0.5
    • 曲线与x轴之间面积为1
    • 一些推导的概率(具体问题具体分析)
      • p(μ-σ≤X≤μ+2σ)=0.8186
      • p(μ+σ≤X≤μ+2σ)=0.1359
      • p(μ-3σ≤X≤μ+σ)=0.84
      • …
• 离散型随机变量及其分布列
  • 随机变量
    • 随机变量
      • 定义:对于随机试验样本空间的每个样本点，都有唯一实数X与之对应
      • 与函数定义关系
        • 相同:样本点相当于自变量 样本空间相当于定义域
        • 不同:样本空间不一定是数集
    • 离散型随机变量
      • 定义:有限个或者可以一一列举
      • 特点
        • 依赖于样本点
        • 所有可能取值明确
  • 离散型随机变量分布列及其性质
    • 分布列:每一个随机变量X所对应的概率p，通常用表格表示
    • 性质:pi≥0且p1+p2+…pn=1
    • 基本步骤:
      • 确定随机变量所有可能取值X
      • 得出相应子事件
      • 求出各取值概率
      • 列出表格
      • (检验分布列)
    • 两点分布(0－1分布)
      • p(X=0)=1－p
      • p(X=1)=p
• 离散型随机变量数字特征
  • 均值(数学期望)
    • 定义:E(X)=Σi从1到n xipi
    • 特点
      • 关于取值概率的加权平均数
      • 反映随机变量取值平均水平
      • 不变
    • 性质
      • E(aX+b)=aE(X)+b
  • 方差Var(X)
    • 定义:D(X)=Σi从1到n (xi－E(X)²pi
    • √D(X)为随机变量标准差，记为σ(X)
    • 意义:反映随机变量取值的离散程度
      • 方差越大
        • 随机变量取值越分散
      • 方差越小
        • 随机变量取值越集中
    • 其他求法:D(X)=E(X²)-[E(X)]²
    • 性质:D(aX+b)=a²D(X)