初一数学下第一单元

初一数学下第一单元整式的运算笔记，包括单项式和多项式、幂运算和整式的运算三大块内容，可用于复习。

整式的运算

• 整式
  • 单项式
    • 定义：都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式
    • 系数：单项式的数字因数叫做单项式的系数
      • 包含它前面的符号
      • 系数是1或-1,通常省略“1”
      • 系数是分数形式，通常保留假分数形式
    • 次数：单项式中全部字母的指数的和叫做单项式的次数 注意：仅与单项式中的字母有关，与系数无关
    • 单独一个数字或一个字母也是单项式
    • 只含有字母因数的单项式的系数是1或-1
    • 单独的一个数字也是单项式，它的系数是它本身
    • 单独的一个非零常数的次数是0
  • 多项式
    • 多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式
    • 多项式的项：多项式中每一个单项式叫做多项式的项 （包含前面的符号）
    • 常数项：多项式中不含字母的项叫做多项式的常数项
    • 一个多项式含有几项，就叫做几项式
    • 多项式没有系数的概念，只有次数的概念
    • 多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数
• 幂运算
  • 同底数幂的乘法
    • n个相同因式（或因数）a相乘，记作 ，其中a为底数，n为指数，的结果叫做幂
    • 底数相同的幂叫做同底数幂
    • 运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加 （可逆用，即 ）
    • 底数不相同的幂相乘，如果能换成底数相同的幂，把底换成相同再运用该运算法则
  • 幂的乘方
    • 是指几个相同的幂相乘
    • 运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘 （可逆用，即 ）
  • 积的乘方
    • 是指底数是乘积形式的乘方
    • 运算法则：积的乘方，等于把积中每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘
    • 可逆用，即
  • 以上三种运算法则异同点
    • 相同点
      • 底数不变，只对指数做运算
      • 底数（不为零）和指数，既可以是数也可以是式（单项，多项）
      • 对于含3个或3个以上，运算法则仍然成立
    • 不同点
      • 同底数幂相乘是指数相加
      • 幂的乘方是指数相乘
      • 积的乘方是每个因式分别乘方，然后把所得结果相乘
  • 同底数幂的除法
    • 运算法则：底数不变，指数相减， 即
    • 可逆用， 即
  • 零指数幂：任何不等于零的数的0次幂都等于1， 即
  • 负指数幂：任何不等于零的数的-p次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即
• 整式运算
  • 整式的加减
    • 理论依据：去括号法，合并同类项法，乘法分配律
    • 正确运用去括号法，精确合并同类项
    • 代数式求值步骤
      • 化简
      • 带入运算
      • 对于某些特殊的代数式，可采纳“整体带入”进行运算
  • 整式的乘法
    • 单项式与单项式相乘
      • 把它们的系数相乘，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变作为积的因式
      • 对于3个或3个以上的单项式相乘同样适用
    • 单项式与多项式相乘
      • 依据分配律用单项式去乘多项式中的每一项,再把所得的积相加;即:
      • 运算时留意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号
      • 结果有同类项时要合并同类项,从而得到最简结果
    • 多项式与多项式相乘
      • 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加;即:(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb;
      • 多项式的每一项都包含它前面的符号,确定积中每一项的符号时应用“同号得正,异号得负
      • 运算结果中有同类项的要合并同类项
    • 平方差公式
      • 两数和与这两数差的积,等于它们的平方之差
      • 平方差公式中的 a, b可以是单项式,也可以是多项式
      • 平方差公式可以逆用,即:a -b= ( a+b ) (a-b)
      • 平方差公式仍能简化两数之积的运算,解这类题,第一看两个数能否转化成( a+b). (a-b) 的形式,然后看a 与 b 是否简洁运算
    • 完全平方公式
      • 两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2 倍;
      • 公式中的 a, b 可以是单项式,也可以是多项式;
      • 把握懂得完全平方公式的变形公式
      • 当运算较大数的平方时,利用完全平方公式可以简化数的运算
      • 完全平方公式可以逆用
        • 完全平方公式可以逆用
  • 整式的除法
    • 单项式除以单项式
      • 一般地,单项式相除,把系数,同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,就连同它的指数一起作为商的一个因式
      • 依据法就可知,单项式相除与单项式相乘运算方法类似,也是分成系数,相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑
    • 多项式除以单项式
      • 多项式除以单项式的法就:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加;用字母表示为: (a b c) m a m b m c m.
      • 多项式除以单项式,留意多项式各项都包括前面的符号