第六章线性空间

向量空间，又称线性空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。

第六章线性空间

• 集合、映射
  • 单位映射（恒等映射）
    • 自身到自身的映射
  • 满射
    • • M'中每个元素都有原像
  • 单射
    • 原像不同则像不同
  • 双射
    • 既是单射又是满射
• 线性空间的定义与简单性质
  • 满足八条运算规则
  • 零元素、负元素唯一
• 维数，基与坐标
  • 维数：V中最多线性无关向量个数
  • 基：线性无关的向量称为V的一组基
  • 坐标：V中任一向量与基向量组线性组合的系数
• 基变换与坐标变换
  • 设A到B的过渡矩阵为X，则B=AX
  • 记准坐标变换公式
• 线性子空间
  • 定义：数域P上线性空间V的一个非空子集合W称为V的一一个线性子空间，且W对于V的两种运算也构成数域P上的线性空间。
  • 满足三个条件1、非空2、加法3、数乘
  • 生成子空间
  • 定理
    • 重要结论 L（a1,a2.....ar）=r(a1,a2.....ar)
    • 两向量组生成相同子空间充分必要条件为这两向量组等价
    • 基扩充定理
  • 区分
    • 平凡子空间（零子空间、线性空间）、不变子空间
• 子空间的交与和
  • 交
    • V1∩V2
      • a1∈V1，a2∈V2
        • V的子空间
  • 和
    • V1∪V2
      • a1∈V1，a2∈V2
        • V的子空间
  • 维数公式：dim(V1)+dim(V2)=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2)
• 子空间的直和
  • 定义：和中每个元素分解唯一
  • 直和的充分必要条件
    • V1∩V2=0元素
    • 设V1、V2是V的子空间，令W=V1+V2,则W=V1+V2的充分必要条件为dim(W)=dim(V1)+dim(V2)
    • 如果U是一个子空间，那么一定存在一个子空间W.使得V是U和W的直和.
• 线性空间的同构
  • 定义
  • 性质
    • 书上P179
  • 数域P上任意两个n维线性空间都同构
  • 数域P上两个有限维的线性空间同构的充分必要条件是他们有相同的维数