导图社区 易得乐前八届竞赛题知识总结
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前八届竞赛题知识总结
第五届
如果一个平行于XOY和椭圆柱面相交，那么得到的曲线一定是一个椭圆，现在已知椭圆柱面的方程是： 那么整个椭圆柱面在XOY平面的投影就是一个方程为 的椭圆，这个椭圆的a=1，b=，其实就是一个圆在y轴上面压缩了的圆。要求一个和椭圆柱面相交的圆，可以把问题简单化，只要求出特定类的平面，就能求出所有需要的法向量
子主题
第六届
初赛
法一
法二
决赛
第七届
预赛
考的是关于异面直线公垂线的存在性和唯一性的一个代数证明方法，为了完成这个代数证明我们需要完成对异面直线公垂线的定义的几何理解。
还可以用反证法来简单证明唯一性
椭圆柱面的法向量问题
则可知若这个平⾯和z = 0 平⾯平⾏，和椭圆柱⾯相交的曲线⼀定为椭圆。 考虑⼀个 “倾斜” 的情况，我们要求的平⾯可以写成 z = αx + βy + γ，因为不能和z = 0 平⾏ 就可以把椭圆柱⾯的⽅程代入直线⽅程
第八届
常规法
思路方法： 设出椭球面方程以及光线参数方程（点向式）。由切点知整理所得参数方程有两相同解。
仿射变化
分析思路方法欲证Г落在一张过椭球中心的平面上。 只需证明经过空间放射变换后的落在一张过球心的平面上。 又因为平行光束照射球面的所有切线的切点是一个大圆，它落在过球心的平面上。 仿射变换：将平面映射为平面， 故Г落在一张过椭球中心的平面上。
分类讨论
思路方法：把平面方程设出来，和旋转抛物面Г联立，分类讨论
第四届
切锥面的性质
注意我们要求的是切锥面的方程
双曲线的轨迹问题
可参见第五届决赛题
第三届
第二届
第一题
思路一：暴解九元一次方程组
·思路二：利用题给点的特征和二次曲面的性质判断
第二题
思路一：从圆方程的一般形式角度考虑
思路二：从仿射变换的角度出发转化为二维平面问题。
思路三：利用圆的参数方程和椭球的参数方程求解
第一届
平面与几何的位置关系
直圆柱面方程
内积/外积的性质、向量的混合积
旋转曲面
1、三维想不到，试试降维（降维有风险，慎用） 2、遇到定点，定直线，定值，可联想抛物线。3、解题方法：合理建系；大胆分析，大胆假设；合理利用每个条件；注意验证。
