初等几何变换

初等几何研究第一章重点内容的思维导图，其中有相关定义和证法。包括：引言、命题的四种变化、证题方法、分断式定理、综合法与分析法、演绎法与归纳法、等线段的证法。

证题法，初等几何变化

• 引言
  • 欧式命题：必须利用平行公理证明
  • 绝对几何命题：不需要利用平行公理
• 命题的四种变化
  • 原命题
  • 逆命题
    • 证法
      • 直接证明逆命题
      • 证明与逆命题等价的否命题
      • 利⽤原命题本身证明逆命题
  • 否命题
  • 逆否命题
• 证题方法
  • 直接证明
  • 间接证明
    • 反证法
      • 归谬法
      • 穷举法
    • 同一法
• 分断式定理
  • 定理：分断式定理的逆命题⼀定 成⽴
  • 定义：如果假设和结论有相同的 款数，并且双⽅都把事物可能⼀ ⼀道尽，双⽅各⾃彼此互斥的命 题
• 综合法与分析法
  • 综合法：由命题的假设⼊⼿，由 因到果，通过⼀系列的正确推 理，逐步靠近⽬标，最终得出结 论
  • 分析法：由命题的结论⼊⼿，承 认它是正确的，执果索因，寻求 在什么情况下结论才是正确的
• 演绎法与归纳法
  • 归纳法：由各个特殊事项加以抽 象提⾼，以得出⼀般规律的
  • 演绎法：由⼀般规律推导特殊事 项的
• 等线段的证法
  • 合同三⻆形的利⽤
  • 等腰三⻆形的利⽤
  • 平⾏四边形的利⽤
  • 媒介线的利⽤
  • 圆内等量的利⽤
    • 距圆⼼等远的⼆弦必相等
    • 圆⼼⻆(或圆周⻆)相等则所对的弧或弦相等
    • 从圆外⼀点向圆所引的两切线相 等，等等
  • 定理“⼀组平⾏线截某直线成等 线段,则截任⼀直线成等线段”的 应⽤,这命题的特款是三⻆形或梯 形中位线性质的应⽤
  • ⽐例相似形的利⽤;等等
• 共点线的证法
  • 化为共线点问题，即先确定其中 两直线的交点，然后在第三线上 选取两点证其与该交点共线
  • 先证其中两直线交于某点,然后 将此点与第三线上⼀点相连,并证 此连线与第三线重合
  • 证明两直线的交点必在第三线 上，例如证明三⻆形三边的中垂 线共点或三⻆的平分线共点,即⽤ 此法
  • 利⽤已知共点线定理，例如证三 ⻆形三⾼线共点，就是化为另⼀ 三⻆形三边中垂线共点⽽得证的
  • 证明第二，三两线和第一线的 交点是第一线上的一个定点，例如三角形三中线共点就是这样证的
• 共线点的证法
  • 适当地选⼀条通过X的直线PXQ, 并连接XY与XZ
    • (1)当Y,Z两点在PQ的异侧时，则 证∠PXZ=交∠QXY或 ∠PXY+∠PXZ=2d
    • (2)当Y,Z两点在PQ的同侧时，则 证∠PXY=∠PXZ
  • 证XY和XZ平⾏于同⼀直线
  • 证三点X,Y,Z平⾏于同⼀直线上
  • 证XZ和某定直线的交点就是Y;等等
• 垂直线的证法
  • 等腰三⻆形的性质:等腰三⻆形 顶⻆的平分线或顶点到底边中点 的连线垂直于底边
  • 半圆的内接⻆
  • 勾股定理的逆定理
  • 合同和相似三⻆形;等等
• 平行线的证法
  • 平⾏的传递性
  • 平⾏四边形
  • 两直线被⼀直线所截，若同位⻆ 相等，则两直线平⾏:与此相通的 命题
  • 三⻆形两边中点的连线平⾏于第 三边
  • 梯形两腰中点的连线平⾏于两底
  • ⽐例关系;等等
• 关于不等量的证法
  • 三⻆形中两边之和⼤于第三边, 两边之差⼩于第三边;
  • 三⻆形中,⼤边的对⻆较⼤，⼤⻆ 的对边较⼤
  • 外⻆定理
  • 垂线与斜线、斜线与斜线的⽐较 定理:从直线外⼀点向直线引垂线及若 ⼲斜线,(1)垂线⼩于斜线;(2)若 两斜线相等，则它们在这直线上 的射影相等,反之亦然;(3)若两斜 线不等，则斜线⼤的射影也⼤,反 之亦然;
  • 两个三⻆形中，若有两组边对应 相等⽽夹⻆不等，则夹⻆⼤的第 三边也⼤;反之,第三边⼤的夹⻆ 也⼤
  • 同圆或等圆中两弦或两弧的⽐较 定理；等等
• 和差倍分和定值问题
  • 三⻆形两边中点的连线等于第三 边的⼀半
  • 梯形两腰中点的连线等于两底和 的⼀半
  • 平⾏四边形的对⻆线互相平分， 菱形的⻆被对⻆线平分
  • 直⻆三⻆形中若有⼀锐⻆为 30°，则斜边是30⻆对边的2倍
  • 直⻆三⻆形斜边中点距三顶点等 远
  • 三⻆形-外⻆等于不相邻⼆内⻆ 的和;等等
• 等角的证法
  • 合同三⻆形的利⽤
  • 等腰三⻆形的利⽤
  • 平⾏线和平⾏四边形的利⽤
  • 证明两⻆是等⻆(同⻆)的补⻆、 余⻆，或证这两⻆等于同⼀⻆， 或分别等于两个相等⻆,抑或证两 ⻆是等⻆的和、差、⼆倍或⼀半
  • 应⽤定理“两三⻆形若有两⻆相 等，则第三⻆亦等”,或应⽤“三⻆ 形-⻆的外⻆等于另外两内⻆之 和”
  • 关于圆⼼⻆、圆周⻆、弦切⻆等 的度量的应⽤
  • 相似形的应⽤;等等
• 共圆点的证法
  • 证诸点距-定点等远(例如,有通 过⼀⼀点的三直线a,b,c,⼀点D关 于这三线的对称点为A,B,C，则 A,B,C,D是共圆点)
  • 证ABCD是圆内接四边形(或证对 ⻆互补，或证某两点视另两点连 线段的视⻆相等,当然这两点要在 这线段同⼀侧)
  • 若⼆直线AB和CD相交于⼀点0， 就有向线段的乘积⾔，证关系 OA·OB=OC·OD成⽴
  • 如果发现其中某两点的连线段应 为直径，便设法证其余的点对这 线段的视⻆均为直⻆;等等
• 初等几何变化
  • 图形的相等或合同：设有两个点集构成的图形F和F',他们的点之间能建立这样的一一对应，使F中任两点的连线段总等于F'中两个对应点的连线段，那么F和F'称为相等或合同
  • 运动：平移或旋转
  • 轴反射或轴对称反射
  • 合同变换
  • 位似和相似变换