微积分第七章

课本知识点总结版第七章是多元函数那一节：二元函数的极限（洛必达//夹逼//常规）连续(定义：|F-f|<£)；性质（有界性、最值、介值）；求偏导【定义:lim△x→0（f(x.+△x，y.)-f(x.，y.)）/△x】。

微积分下第七章

• 7.1.2
  • 二元函数的极限（洛必达//夹逼//常规）连续(定义：|F-f|<£)
  • 性质（有界性、最值、介值）
• 7.1.3
  • 求偏导【定义:lim△x→0（f(x.+△x，y.)-f(x.，y.)）/△x】
  • ①偏导=曲线(切线)斜率②偏导不能决定连续
  • 连续→二阶混合偏导fxy=fyx
  • 拉普拉斯方程：fx"+fy"(+fz")=0
• 7.1.4
  • 全增量：△z=f(x.+△x，y.+△y)-f(x.，y.)=dz+o(p)
  • 全微分(省去△x△y)：dz=k△x+c△y
  • 题目：可微→dz=fx'dx+fy'dy
  • 微分中值定理：
  • 证可微(求阝△x+∝△y是否是p的高阶无穷小):（|阝△x+∝△y|）ˇ2/[(△x)ˇ2+(△y)ˇ2]→0
  • 全微分的应用：求近似值或误差【f(x.+△x，y.+△y)=f(x.，y.)+fx'△x+fy'△y】
• 7.1.5
  • 复合函数求导【分段用乘 分叉用加 单路全导 叉路偏导】
  • 二阶复合求导[走过的路再走一遍]
• 7.1.6 隐函数F(x，y)=0 ∝F／∝x＝0
  • 方程 Fx'与Fy'在D(x.□y.)内连续，F(x.，y.)=0且F(x.，y.)'≠0 →【y为x的函数】→ f'(x)=-F'x/F'y
  • 方程组｛F(x，y，u，v)＝0，｛G(x，y，u，v)＝0 →【J＝F'u•G'v-F'v•G'u=∝(F，G)/∝(u，v)≠0】→ u'变x=-1/J[∝(F，G)/∝(x，v)]
• 7.2.1
  • 空间曲线(x y z由t表示)P.处的切线【(x-x.)/x'=(y-y.)/y'=(z-z.)/z'】
  • 法平面【x'(x-x.)+y'(y-y.)+z'(z-z.)=0】
  • 曲面F(x，y，z)=0在P.处的切面【F'x(x-x.)+F'y(y-y.)+F'z(z-z.)=0】
  • 法线【(x-x.)/F'x=(y-y.)/F'y=(z-z.)/F'z】
• 7.2.2
  • 方向导数（沿l方向的平均变化率）
    • ∝z/∝l=limp→0[f(x+△x，y+△y)-f(x，y)]/p
    • ∝z/∝l=（∝z/∝x）cosa＋（∝z/∝y）cos阝
  • 梯度（沿某一方向的变化率）
    • g=gradu=(∝u/∝x)i+(∝u/∝y)j+(∝u/∝z)k
    • gradu的方向与等量面上该点的法向量相同
    • 性质：grad(u1+u2)=gradu1+gradu2；grad(u1u2)=u2gradu1+u1gradu2；gradF(u)=F'gradu
• 7.2.3
  • 泰勒公式
  • 拉格朗日中值公式
• 7.2.4
  • f'x=0；f'y=0 → 驻点
  • 极值点：①是驻点②B^2-AC＜0有极值③A＞0极小
  • 条件极值：F(x，y)=f(x，y)+入G(x，y)→【限制G(x，y)=0】→F'x=0；F'y=0