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几何知识思维导图，包括：一、证题法与证题术；二、初等几何变换；三个轴反射变换的乘积；两个轴反射变换的乘积。
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第一章 证题法，初等几何变换
一、证题法与证题术
1.5 直接证法与间接证法
直接证法
间接证法
反证法
归谬法
当结论的反面只有一款时，否定了这一款便完成了证明.
例：圆内不是直径的两弦，不能互相平分.
穷举法
当结论的反面有若干款，必须驳倒其中每一款
例：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
同一法
当欲证明某图形具有某种性质而又不易直接证明时，有时可以作出具有所示性质的图形，然后证明所作的图形跟所给的图形就是同一个.
1.6 综合法与分析法
综合法
由因导果
分析法
执果索因
1.7 演绎法与归纳法
演绎法
归纳法
同弧所对的圆心角是圆周角的两倍.
1.8 等线段的证法
合同三角形的应用
等腰三角形的应用
平行四边形的应用
媒介线的应用
圆内等量的应用
定理“一组平行线截某直线成等直线，则截任一直线成等线段”的应用
比例相似形的利用
1.9 等角的证法
平行线和平行四边形的应用
证明两角是等角的补角、余角，或证这两角等于同一角
应用定理“两三角形若有两角相等，则第三角亦等”
关于圆心角、圆周角、弦切角等的度量的应用
相似形的利用
1.10 和差倍分的证法和定值问题
三角形两边中点的连线等于第三边的一半
梯形两腰中点的连线等于两底和的一半
平行四边形的对角线互相平分，菱形的角被对角线平分
直角三角形中若有一锐角为30度，则斜边是30度角对边的2倍
直角三角形斜边中点距三顶点等远
三角形一外角等于不相邻二内角的和
1.11 灵活机动的几何题证法
几何代数不分家
1.12 关于不等量的证法
三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
三角形中，大边的对角较大，大角的对边较大
外角定理
垂线与斜线、斜线与斜线的比较定理
两个三角形中，若有两组边对应相等而夹角不等，则夹角大的第三边也大；反之，第三边大的夹角也大
同圆或等圆中两弦或两弧的比较定理
1.13 平行线的证法
平行的传递性
平行四边形
两直线被一直线所截，若同位角相等，则两直线平行；与此相通的命题
三角形两边中点的连线平行于第三边
梯形两腰中点的连线平行于两底
比例关系
1.14 垂直线的证法
等腰三角形的性质：等腰三角形顶角的平分线或顶点到底边中点的连线垂直于底边
半圆的内接角
勾股定理的逆定理
合同和相似三角形
1.15 共线点的证法
证明三点X,Y,Z共线
1' 适当地选一条通过X的直线PXQ，并连接XY与XZ
(1) 当Y,Z两点在PQ的异侧时，则证∠PXZ=∠QXY或∠PXY+PXZ=2d
(2)当Y,Z两点在PQ的同侧时，则证∠PXY=∠PXZ
2' 证明XY和XZ平行于同一直线
3' 证明X,Y,Z同在一定直线上
4' 证明XZ和某定直线的交点就是Y
1.16 共点线的证法
1' 化为共线点问题，即先确定其中两直线的交点，然后在第三直线上选取两点证其与该交点共线
2' 先证其中两直线交于某点，然后将此点与第三线上一点相连，并证此连线与第三线重合
3' 证明两直线的交点必在第三线上
4' 利用已知共线点定理
5' 证明第二、三两线和第一线的交点是第一线上的一个定点
1.17 共圆点的证法
1' 证诸点距一定点等远
2' 证ABCD是圆内接四边形
3' 若二直线AB和CD相交于一点O，就有向线段的乘积而言，证关系OA*OB=OC*OD成立
4' 如果发现其中某两点的连线段应为直径，便设法证其余的点对这线段的视角均为直角
1.18 共圆点的证法
依次通过圆内接四边形四顶点和邻接二边中点作圆，这四圆共点
四直线相交成四个三角形，这四个三角形的外接圆共点
二、初等几何变换
1.19 图形的相等或合同
定义
设有两个点集构成的图形F和F'，它们之间的点之间能建立这样的一一对应，使F中任两点的连线段总等于F'中两个对应点的连线段，那么F和F'成为相等或合同
性质
反身性、对称性和传递性
在相等的图形中
与共线点对应的是共线点，从而直线的相等图形是直线
两相交直线的交角等于两条对应线的交角
分类
全相等
如果两个相等图形上的对应三角形有同一定向，则该两图形真正相等，称为全相等，可重合
镜照相等
如果两个相等图形上的对应三角形有相反定向，称为镜照相等，不可重合
1.20 运动
所谓运动，就是一个变换，把图形F的点变换为图形F'的点，使任意两点间的距离(从而使角度)总保持不变,转向也保持不变.
平移变换
平移变换由一对对应点或由平移方向和平移距离
性质1 平移是运动
性质2 两个平移变换的乘积是一个平移变换
性质3 平移变换的逆变换为平移变换
性质4 两对应点连线段与给定的有向线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆
性质5 对应角相等且角的两边同向平行
性质6 除单位变换为，平移没有二重点，但有无穷多的二重线，即平行于平移方向的一切直线
旋转变换
旋转要素：旋转中心、旋转角
性质1 旋转变换也是运动
性质2 对应点到旋转中心的距离相等
性质3 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
性质4 旋转前、后的图形全等(对应线段相等，对应角相等)
性质5 旋转变换的逆变换是旋转变换
性质6 对于同一旋转中心，接连施行两次旋转变换仍是一个旋转变换
性质7 非恒等的旋转变换只有一个二重点(旋转中心)，非半轴旋转变换没有二重线
1.21 轴反射或轴对称变换
设l是一条给定的直线，T是一个变换，它把图形F上任意一点M变到M' ，使得M与M'关于直线l对称，M'在图形F'上，则T称作以l为反射轴的轴反射变换
性质1：如果图形F与图形F'关于直线l对称，那么对应点的连线互相平行且被反射轴垂直平分
性质2：轴反射变换把任意图形变换成与其镜像相等的图形
性质3：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称
性质4：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或其延长线相交，那么交点在反射轴上
性质5：轴反射变换有无穷多个二重点，它们都是反射轴上的点
性质6：轴反射变换有无穷多条二重线，它们都是反射轴或垂直于反射轴的直线
1.22 合同变换(正交变换）
使相等图形叠合的变换
保长变换，等距变换
只改变图形的相对位置，不改变图形的形状和大小
平移、旋转、和轴反射变换都是合同变换
第一类(真正合同变换)
旋转变换(含中心对称变换)
第二类(镜像合同变换)
轴反射变换
轴反射变换与平移变换的乘积
轴反射变换与旋转变换的乘积
1.23 位似和相似变换
位似变换
已知有两个图形F与F',它们的点之间存在一对一的对应联系，并且这个对应具有下列性质
①它的任意一对对应点M与M'的连线都通过一个定点O'
②向量OM' =k(向量OM） （k≠0）
性质1：当K=1时，为单位变换，非单位变换，只有位似中心是二重点
性质2：当K=-1时，为中心反射变换
性质3：平面上的位似变换保留图形的转向
性质4：位似变换由位似中心与位似比确定，也可以由一对对应点及位似中心(或位似比)确定
性质5：若两多边形成位似，则对应顶点的角相等，对应边成比例
性质6：图形的位似具有反身性、对称性和传递性
相似变换
我们把位似和运动或轴反射之积称为相似变换
性质1：相似图形满足反身性、对称性和传递性
性质2 ：相似图形保持两直线所成角的大小不变
性质3：相似变换不改变图形的形状，而改变大小
性质4：两多边形相似，则对应的角相等，对应边成比例
性质5：两个相似的平面图形，其面积之比等于它们的相似比的平方
1.24 初等几何变换的应用
利用平移变换证明命题
任意四边形中一双对边中点的连线段不大于另一双对边和的一半
利用轴反射变换证明命题
锐角三角形的所有内接三角形中，垂足三角形的周界最小
直角三角形的“内接三角形”中，最小的周界等于斜边高线的二倍
利用旋转变换证明命题
在凸四边形的每一边上向外方作正方形，两双对边上正方形中心的连线相等且垂直
利用相似变换证明命题
圆内接四边形中两对角线之积等于两双对边乘积之和
对一般四边形ABCD，有AB*CD+AD*BC≥AC*BD
四边形内接于一圆的充要条件是两对角线之积等于两双对边乘积之和
三个轴反射变换的乘积
两个轴反射变换的乘积
