函数的思维导图

函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。更多干货内容赶快收藏起来慢慢看吧！

函数

• 函数的概念
  • 变量与函数
    • 在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫变量；保持数值不变的量叫做常量。
    • 在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x的允许取值范围之内，变量y随着x的变化而变化，它们之间存在确立的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量。
    • 这种表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式。
  • 函数定义域与函数值
    • 函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
    • 如果变量y是自变量x的函数，那么对于x在定义域内取定的一个值a，变量y的对应值叫做当x=a时的函数值。
• 正比例函数
  • 1.正比例函数
    • 如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数，那么就说这两个变量成正比例。用数学式子表示两个变量x,y成正比例。就是y/x=k，或表示为y=kx，k是不等于零的常数。
    • 解析式形如y=kx（k是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数。
    • 定义域为一切实数
  • 2.正比例函数的图像
    • 一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图像是经过点O（0，0）和点M（1，k）的一条直线
    • 画正比例函数图像的步骤
      • 列表—取自变量x的一些值，计算出相应的函数值
      • 描点—分别以所取x的值和相应的函数值作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所相应的各点
      • 连线—用光滑的曲线（包括直线）把描出的这些点按照横坐标由小到大的顺序联结起来
  • 3.正比例函数的性质
    • 当k>0时，正比例函数的图像经过第一，三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大。
    • 当k<0时，正比例函数的图像经过第二，四象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐减小。
  • 4.正比例函数的应用
    • 用待定系数法来解决问题
      • 第一步：设
      • 第二步：代
      • 第三步：解
      • 第四步：答
    • 解决实际生活中的问题
• 函数的表示法
  • 函数的常用表示法
    • 把两个变量之间的依赖关系用数学式子来表达，这种表示函数的方法叫做解析法。
      • 优点：简单明了
      • 缺点：有些函数不能用解析式表示
    • 把两个变量之间的依赖关系用表格来表达，这种表示函数的方法叫做列表法。
      • 优点：一目了然，查找方便
      • 缺点：不能把所有的自变量和所应的函数值都列在表中
    • 把两个变量之间的依赖关系用图像来表达，这种表示函数的方法叫做图像法。
      • 优点：非常直观，可以看出变化图像
      • 缺点：有的函数画不出它的图像，也不能得到完整的图像
  • 正反比例的综合问题
• 反比例函数
  • 1.反比例函数
    • 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零常数，那么就说这两个变量成反比例。用数学式子表示两个变量x,y成反比例。就是xy=k，或表示为y=k/x，k是不等于的常数。
    • 解析式形如y=k/x（k是常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，其中k也叫做比例系数。
    • 定义域为x≠0的一切实数
  • 2.反比例函数的图像
    • 反比例函数y=k/x（k是常数，k≠0）的图像叫做双曲线，它有两支。
    • 画反比例函数图像的步骤
      • 列表—反比例函数的定义域是不等于零的所有实数，在列表时，自变量x的值不能取零，可以取一些正数和和负数，计算出相应的函数值y
      • • 描点—分别以x所取的值和相应的y值作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所相应的各点
      • • 连线—把第一（二）象限内的各点用光滑的曲线连接，再向两方伸展，得到图像的一支，再用同样的方法在第三（四）象限画出图像的另一只
  • 3.反比例函数的性质
    • 当k>0时，函数图像的两支分别在第一，三象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小，并且第一象限内的y值总大于第三象限的y值。
    • 当k<0时，函数图像的两支分别在第二，四象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐增大，并且第二象限内的y值总大于第四象限的y值。
    • 图像的两支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交。
  • 4.反比例函数的应用
    • 用待定系数法来解决问题
    • 解决实际生活中的问题
    • 利用面积来解决问题
      • 正方形面积：S=|k|
      • 三角形面积：S=|k/2|