一次函数

本导图梳理了关于一次函数的相关知识内容，包括变量与函数、函数的图像、正比例函数、一次函数、一次函数与方程、不等式。

一次函数

• 函数
  • 变量与函数
    • 变量
      • 数值发生变化的量
    • 常量
      • 数值始终不变的量
    • 自变量和函数
      • 一般地，在一个变化过程中，如果两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y和x的函数
    • 函数值
      • 如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值
    • 解析式
      • 表示函数与自变量之间关系的有关自变量的数学式子。（描述函数的常用方法）
  • 函数的图像
    • 函数的图像
      • 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像（graph）
    • 描点法画函数图像
      • ①列表
      • ②描点
      • ③连线
    • 表示函数的三种方法
      • 解析式法
        • 函数关系清楚,容易从自变量的值求出其对应的函数值
      • 列表法
        • 不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值
      • 图像法
        • 能直接形象的表示出函数的变化情况
• 一次函数
  • 正比例函数（一种特殊的一次函数）
    • 定义
      • 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数
    • 特点
      • ①k是常数，k≠0
      • ②x，y的指数为宜一
    • 性质
      • ①当k>0时，随着x的增大y也增大，经过一、三象限
      • ②当k<0时，随着x的增大y反而减小，经过二、四象限
    • 两点法画正比例函数y=kx（k≠0）
      • 一般地，过原点和点（1，k）的直线，即正比例函数
  • 一次函数
    • 定义
      • 一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数
    • 性质
      • ①当k>0时，y随x的增大而增大
      • ②当k<0时，y随x的增大而减小
    • 规律
      • ①当k>0，b>0，时，经过第一、二、三象限
      • ②当k>0，b<0，时，经过第一、三、四象限
      • ③当k<0，b>0，时，经过第一、二、四象限
      • ④当k<0，b<0，时，经过第二、三、四象限
    • 待定系数法
      • 先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法
  • 一次函数与方程、不等式
    • 因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为y=ax+b形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值
    • 因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0(a≠0)的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围
    • 因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写成(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个，于是也对应一条直线。这条直线上每个点的坐标（x，y）都是这个二元一次方程的解

第十九章 一次函数

• 19.1 函数
  • 19.1.1 变量与函数
    • 变量
      • 数值发生变化的量
    • 常量
      • 数值始终不变的量
    • 自变量和函数
      • 一般地，在一个变化过程中，如果两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y和x的函数
    • 例：指出其中的变量与常量，自变量与函数：一些单价为0.2元/支的铅笔，总价y随着铅笔的支数x变化
    • 函数值
      • 如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值
    • 解析式
      • 表示函数与自变量之间关系的有关自变量的数学式子。
      • 如y=-x , y=6x-5等
        • 例：试写出函数的解析式：正方形的面积S随着正方形的边长随之改变
  • 19.1.2 函数的图像
    • 函数的图像
      • 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像
    • 描点法
      • 列表
        • 注意自变量的取值范围
      • 描点
        • 在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点
      • 连线
        • 按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点连接起来。
      • y = 6 / x (x > 0))
    • 表示函数的三种方法
      • 解析式法：准确地反映了函数与自变量之间的数量关系.
      • 列表法：具体地反映了函数与自变量的数值对应关系.
      • 图像法：直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律.
• 19.2 一次函数
  • 19.2.1 正比例函数
    • 定义
      • 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数
    • 特点
      • k是常数，k≠0
      • x，y的指数为一
    • 性质
      • 当k>0时，随着x的增大y增大，经过一、三象限
      • 当k<0时，随着x的增大y减小，经过二、四象限
      • |k|越大，图像越陡峭
    • 两点法
      • 画图选取原点和（1，k）
  • 19.2.2 一次函数
    • 定义
      • 一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数
    • 图像与性质
      • 当k>0，b>0，时，经过第一、二、三象限
      • 当k>0，b<0，时，经过第一、三、四象限
      • 当k<0，b>0，时，经过第一、二、四象限
      • 当k<0，b<0，时，经过第二、三、四象限
      • k影响图像的倾斜程度，b为图像与y轴的交点
    • 待定系数法
      • 直接给出两点（x1，y1),（x2，y2）
      • 从图形中找出两点（x1，y1),（x2，y2）
      • 例：已知一次函数图像过点（9 , 0）和（24 ，20），求这个一次函数解析式
  • 19.2.3 一次函数与方程、不等式
    • 一次函数与方程
      • 因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为y=ax+b形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值
      • 例：当自变量为何值时，y=x+5与y=0.5x+15的值相等？这个函数值是多少？
    • 一次函数与不等式
      • 因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0(a≠0)的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围
      • 例：结合图像比较y=2x+1与y=5x+17这两个函数的函数值的大小关系
• 19.3 课题学习 选择方案
  • 怎样收取上网收费方式？
  • 怎样租车？