导图社区 线性代数第五章——相似矩阵及二次型
这是一篇关于线性代数第五章——相似矩阵及二次型的思维导图，主要内容有—.向量的内积二.方阵的持征值及特征向量三.相似矩阵与矩阵的对角化。
对概率论与数理统计中的数理统计初步中的基本概念进行总结，包括：总体、样本、样品；X1、X2、......Xn的联合分布；统计量及样本的数字特征；三大分布。
对概率论与数理统计中的大数定律与中心极限定理知识点进行总结，包括：马尔科夫不等式、切比雪夫大数定律、依概率收敛、贝努利大数定律、辛钦大数定律。
对于概率论与数理统计中的随机变量的数字特征进行了知识点总结归纳，包括：数学期望、相关系数与相关阵、方差。
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相似矩阵及二次型
一.向量的内积
向量的内积和长度
定义1
设有n维向量x= ，y= ，向量x与向量y的内积定义为
内积记得运算规律
①[x,y]=[y,x]
②[λx,y]=λ[x,y]
③[x+y,z]=[x,z]+[y,z]
定义2
向量x的长度为||X||=
向量长度的性质
①非负性.当x≠0时，||X||＞0；当x=0时，||X||=0
②齐次性.||λx||=|λ| ||x||
③三角不等式.||x+y||≤||x||+||y||
当||x||=1时，称x为单位向量，当x≠0时，||x||＞0，此时 是单位向量，称它为x的单位化
正交与正交规范化
定理1
若n维向量α1，α2，···，αr是一组两两正交的非零向量，则α1，α2，···，αr线性无关
定义3
设n维向量α1，α2，···，αr是向量空间V（V∈ ）的一个基，如果α1，α2，···，αr两两相交，且都是单位向量，则称α1，α2，···，αr是V的一个正交规范基
若α1，α2，···，αr是V的一个正交规范基，那么V中任一向量α可表示为α=λ1α1+λ2α2+···+λrαr，其中λi=[α,αi](i=1,2,···，r）
施密特正交化
得到的向量两两正交，单位化后为单位向量，成为正交规范基
正交矩阵
定义4
如果n阶方阵A满足AA=E（即A=A），则称A是正交矩阵
三个性质
A =A
|A|=±1
A 、A 也是正交阵
结论
A为正交阵
A的列（行）向量均为单位向量，且两两正交
定义5
若P为正交矩阵，则线性变换y=Px称为正交变换
正交变换不改变向量的长度
二.方阵的特征值及特征向量
定义6
设A为n阶方阵，如果数λ和n维非零向量x使关系式Ax=λx成立，则称λ为方阵A的特征值，非零向量x称为A对应于特征值λ的特征向量
若P是A的对应于λ的特征向量，则kP（k≠0）也是A的对应于λ的特征向量
若P1、P2皆是A的对应于λ的特征向量，则P1+P2（P1+P2≠0）也是A的对应于λ的特征向量
n阶方阵一定有n个特征值
注意点
k重特征根所赌赢的线性无关的特征向量的个数≤k
引理
设λ是A的特征值，则λ²是A²的特征值，一般地，λ 是A 的特征值
若矩阵A可逆，则 是A 的特征值
是A*的特征值
定理2
设λ1，λ2，···，λm是方阵A的m个特征值，P1，P2，···，Pm依次是与之对应的特征向量，如果λ1，λ2，···，λm各不相等（即没有重根），则P1，P2，···，Pm线性无关
求法
①解特征方程|A-λE|=0得到A的全部特征值（共有n个）
②对每个特征值λi，求出齐次线性方程组（A-λiE）x=0的基础解系，它们就是A的对应于λi的线性无关的特征向量
三.相似矩阵与矩阵的对角化
相似矩阵
定义7
设A,B都是n阶方阵，若有可逆矩阵P，使P AP=B，则称B和A相似，或说矩阵A和B相似，对A进行运算P AP称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变为B的相似变换矩阵
性质
①自反性.A与A本身相似
②对称性.若A与B相似，则B与A相似
③传递性.若A与B相似，B与C相似，则A与C相似
定理3
若n阶方阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值亦相同
矩阵的对角化
定理4
n阶方阵A相似于对角阵（即A能对角化）的充要条件是A有n个线性无关的特征向量
推论1
当p Ap= 成立时
对角阵 的对角线上的元素即为A的n个特征值
相似变换矩阵P的列向量就是A的n个线性无关的特征向量
推论2
如果n阶方阵A的n个特征值各不相等（即无重根），则A与对角阵相似
六.正定二次型
①二次型的标准形不唯一
②用正交变换法得到的标准形除列向量的顺序可能不同外，是唯一的
③标准形中所含的非零的项数是确定的，为二次型的秩
定理11（惯性定理）
设有二次型f=X AX，它的秩为r，有两个实的可逆变换X=CY及X=PZ使得f=k1Y1²+k2Y2²+···+krYr²（ki≠0）及f=λ1Z1²+λ2Z2²+···+λrZr²(λi≠0），则k1，k2，···，kr中正数的个数与λ1，λ2，···，λr中正数的个数相等
定义10
二次型x Ax的标准形中，正（负）平方项的项数（即与A合同的对角阵中正（负）对角元的个数）称为二次型A的正（负）惯性指数；
推论3
设A为n阶实对称矩阵，若A的正、负惯性指数分别为p，q，则A合同于对角阵A=diag(1,···，1，-1，···，-1，0，···，0），其中，有p个1，q个-1，n-p-q个0.即存在可逆变换x=Cy,使得x Ax= 称右端多项式为二次型的规范形.
定义11
设有二次型f（x）=x Ax，如果对于任何x≠0都有f（x）＞0[显然f（0）=0],则称f为正定二次型，并称对称矩阵A是正定的，记作f＞0.如果对任何x≠0都有f（x）＜0，则称f为负定二次型，并称A是负定的
定理12
实二次型f=x Ax为正定的充要条件是：它的标准形的n个系数全为正
推论
对称阵A为正定的充要条件是：A的特征值全为正
定理13
对称阵A为正定的充要条件是：A的各阶主子式都为正；对称阵A为负定的充要条件是：奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正
顺序主子式即为矩阵沿其主对角线方向所取得子式
五.二次型及其化简
有关概念
通过变量的线性变换将二次齐次多项式化简为只含有平方项，将二次齐次多项式称为二次型
定义8
含有n个变量x1，x2，···，xn的二次齐次函数f（x1，x2，···，xn）= 称为二次型，只含有平方项的二次型称为标准型
定理9
任给可逆矩阵C，令B=C AC，如果A为对称矩阵，则B也为对程矩阵，且R(A)=R(B)
定义9
设A，B为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵C，使B=C AC，则称A合同于B
①自反性.A与A本身合同
②对称性.若A与B合同，则B与A合同
③传递性.若A与B合同，B与C合同，则A与C合同
用正交变换法化简二次型
定理10
任给n元二次型f= ，总有正交变换x=Py，使f化为标准形 ，其中，λ1，λ2，···，λn为A的特征值
步骤
①写出二次型f的矩阵A
②求出A的全部特征值，以及对应每个特征值的特征向量
③用施密特正交化方法，将特征向量正交化、单位化，得到n个相互正交的单位特征向量
④将得到的n个相互正交的单位特征向量作为列向量，做n阶矩阵P，则x=Py即为所求的正交变换
用配方法化简二次型
二次型中含有平方项
将含平方项的变量归并起来进行配方从而转化为标准型
二次型中不含平方项
将含有乘积项例如X1X2乘积项的变量X1、X2分别用另一变量的和与差表示，再进行配方处理
四.实对称矩阵的相似矩阵
定理5
实对称矩阵的特征值为实数
定理6
设λ1，λ2是实对称矩阵A的两个特征值，P1，P2是对应的特征向量，若λ1≠λ2，则P1与P2正交
定理7
设A是n阶实对称矩阵，λ是A的特征方程的γ重根，则特征值λ恰有γ个线性无关的特征向量.（此时矩阵（A-λE）的秩R(A-λE）=n-r
定理8
设A是n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P，使P AP= ，其中 是以A的n个特征值为对角元素的对角阵
①根据特征多相似求特征值
②求对应的特征向量
③正交化、单位化（不一定都需要）
