复数

高一必修二数学复数章节思维导图，包括数系的扩充和复数的概念、复数的几何意义、复数的三角表示、复数的四则运算等等。

复数

• 数系的扩充和复数的概念
  • 有关概念
    • 定义
      • 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位
    • 复数集
      • 复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集
    • 表示方法
      • 通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．
  • 相等的充要条件
    • 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d．
  • 分类
    • 1)复数z＝a＋bi(a，b∈R）
      • 实数（b＝0）
      • 虚数（b≠0）纯虚数a＝0，非纯虚数a≠0.
    • 2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
• 复数的几何意义
  • 复平面
    • 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
  • 两种几何意义
    • 1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应复平面内的点Z(a，b)．
    • 2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 一一对应平面向量OZ.
  • 复数的模
    • 复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为OZ，则OZ的模叫做复数z的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2．
  • 共轭复数
    • 1)一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．
    • 2)虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数
    • 3)复数z的共轭复数用z－表示，即如果z＝a＋bi，那么共轭复数z＝a－bi．
• 复数的三角表示
  • 复数三角形式的乘、除运算
    • 两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积， 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商
    • 1)乘法法则：模相乘，辐角相加． 2)除法法则：模相除，辐角相减． 3)复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角的n倍
• 复数的四则运算
  • 复数的加、减运算及其几何意义
    • 复数加、减法的运算法则及加法运算律
      • 加、减法的运算法则
        • 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．
      • 加法运算律
        • 对任意z1，z2，z3∈C，有
          • ①交换律：z1＋z2＝z2＋z1
          • ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)
    • 复数加、减法的几何意义
      • 如图所示，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，对应的向量分别为OZ1，OZ2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是OZ，与z1－z2对应的向量是Z2Z1.
      • 应用技巧
        • 1)复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算．
        • (2)复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．
          • 子主题
  • 复数的乘、除运算
    • 乘法的运算法则和运算律
      • 运算法则
        • 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1•z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．
      • 运算律
        • 对任意复数z1，z2，z3∈C，有
          • 交换律
            • z1z2＝z2z1
          • 结合律
            • (z1z2)z3＝z1(z2z3)
          • 乘法分配律
            • z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
    • 除法的运算法则
      • 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)(a，b，c，d∈R)，(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c²+d²)+((bc-ad)/(c²+d²))i
      • 应用
        • 一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．
    • 虚数单位i具有周期性
      • i的四次方＝1 i的4n＋1次方＝‐i i的4n＋2次方＝‐1 i的4n＋3次方＝‐i
• 高一八班邱乔希