初中数学第一单元有理数

有理数正数和负数正数定义大于0的数叫做正数表示在正数前面加上正号（+）不加正号负数定义小于零的数叫做负数表示在正数前面加上负号（-）0特性既不是正数，也不是负数正数与负数的分界正数与负数的定义具有相反意义的量定义如果两个同类的量意义相反

有理数

• 正数和负数
  • 正数与负数的定义
    • 正数
      • 定义
        • 大于0的数叫做正数
      • 表示
        • 在正数前面加上正号（+）
        • 不加正号
    • 负数
      • 定义
        • 小于零的数叫做负数
      • 表示
        • 在正数前面加上负号（-）
    • 0
      • 特性
        • 既不是正数，也不是负数
        • 正数与负数的分界
  • 具有相反意义的量
    • 定义
      • 如果两个同类的量意义相反，那么它们就叫做具有相反意义的量
    • 表示
      • 具有相反意义的量可以分别用正数和负数来表示
  • 对0的再认识
    • 表示没有
      • 0个苹果
    • 表示数时起到占位的作用
      • 10605
    • 表示某种量的基准
      • 0摄氏度代表冰点
    • 表示某些数量的分界
      • 正数和负数的分界
    • 表示起点
      • 米尺上刻度起点
• 有理数
  • 有理数的有关概念
    • 整数
      • 正整数、0、负正数统称为整数
    • 分数
      • 正分数、负分数统称分数
    • 有理数
      • 整数和分数统称为有理数
    • 常用数学名词
      • 正整数
        • 既是整数又是整数
      • 负整数
        • 既是整数又是负数
      • 正分数
        • 既是正数又是分数
      • 负分数
        • 既是负数又是分数
      • 非负数
        • 正数和0
      • 非正数
        • 负数和0
      • 非负整数（自然数）
        • 正数和0
      • 非正整数
        • 负整数和0
      • 正有理数
        • 正整数和正分数
      • 负有理数
        • 负整数和负分数
      • 非正有理数
        • 0、负整数和负分数
      • 非负有理数
        • 0、正整数和正分数
      • 奇数、偶数
        • 奇数和偶数也可以包括fu shu
  • 有理数的分类
    • 按定义分类
      • 有理数
        • 整数
          • 正整数
          • 0
          • 负整数
        • 分数
          • 正分数
          • 负分数
    • 按性质符号分类
      • 有理数
        • 正有理数
          • 正整数
          • 正分数
        • 0
        • 负有理数
          • 负整数
          • 负分数
    • 集合
      • 定义
        • 把满足一定条件的所有数放在一起，就组成了一个集合，简称数集（数的集合）
      • 表示
        • 用大括号表示
        • 用圆表示
  • 数轴
    • 定义
      • 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴
      • 三要素
        • 原点
        • 正方向
        • 单位长度
    • 画法
      • 画一条水平的直线
      • 取适当的一点作为原点
      • 用箭头表示出正方向，再选取适当的长度作为单位长度
      • 在原点右边向右依次标上1，2，3，4……，在左边向左依次标上-1，-2，-3，-4……
    • 数轴上的点与有理数的对应关系
      • 每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但数轴上的点不都是表示有理数
  • 相反数
    • 定义和意义
      • 定义
        • 只有符号不同的两个数叫做互为相反数
        • 把其中一个数叫做另一个数的相反数
        • 一般情况
          • a和-a互为相反数
        • 特殊情况
          • 0的相反数是0
      • 意义
        • 相反数所表示的点分别位于原点的左右两边且到原点的距离相等
    • 性质
      • 任何一个数都有唯一一个相反数
      • 正数的相反数是负数
      • 负数的相反数是整数
      • 0的相反数是0
      • 0是唯一一个相反数等于它本身的数
      • 若a、b互为相反数，则a=-b或b=-a或a+b=0
    • 求一个数的相反数的方法
      • 具体数
        • 改变这个数前面的符号
      • 单独的字母
        • 在这个字母前面加上“-”号
    • 多重符号的化简
      • 依据
        • 相反数的定义
      • 规律
        • 一个具体的数前面有几个正负号时，化简结果是由负号的个数决定的
        • 负号个数为奇数，化简结果为负数
        • 负号个数为偶数，化简结果为偶数
  • 绝对值
    • 定义
      • 数轴上表示数a的点与原点的距离叫数a的绝对值
      • 表示
        • ｜a｜
      • 读作
        • a的绝对值
    • 性质
      • 一个正数的绝对值是它本身
      • 一个负数的绝对值是它的相反数
      • 0的绝对值是0
    • 非负性的应用
      • 若几个数的绝对值为0，则这几个数同时为0
  • 有理数的大小比较
    • 利用数轴
      • 在数轴上表示的两个数和几个数，右边的数总比左边的数大
    • 利用法则
      • 正数大于0，0大于负数，正数大于负数
      • 两个负数，绝对值大的反而小
      • 两个正，绝对值大的数大
• 有理数的加减法
  • 有理数的加法
    • 加法法则
      • 加法法则
        • 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
        • 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
        • 互为相反数的两个数相加得0
        • 一个数同0相加，仍得这个数
      • 结果
        • 可正可负可为零
        • 可能比两个加数都大
        • 可能比两个加数都小
        • 可能比一个加数大，比另一个加数小
        • 可能等于其中一个加数
    • 加法的运算定律
      • 加法运算定律
        • 加法交换律
          • a+b=b+a
        • 加法结合律
          • （a+b）+c=a+（b+c）
      • 运算技巧
        • 相反数结合法
        • 同分母结合法
        • 同号相加法
        • 凑整法
        • 同形结合法
        • 拆分法
  • 有理数的减法
    • 减法法则
      • 减法法则
        • 减去一个数，等于加这个数的相反数
      • 三种情况
        • 减去一个正数等于加上一个负数
        • 减去一个负数等于加上正数
        • 任何数减0等于它本身，0减一个数等于这个数的相反数
    • 加减混合运算
      • 有括号的先算括号里的
      • 没有括号的，将减法转换为加法，再进行简化计算
    • 省略加号的和式的写法
      • 写法
        • 在和式中可以把加号及加数的括号省略不写
      • 读法
        • 按结果读
          • 性质符号和数在一起的和，正负不能省略
        • 按运算读
          • 加减，第一个加数如果是负数，这个“-”号要读负而不能读减，其他数按运算符号读
• 乘除法
  • 乘法
    • 乘法法则
      • 乘法法则
        • 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
        • 任何数与0相乘，都得0
      • 运算步骤
        • 确定积的符号
        • 确定积的绝对值
    • 倒数的概念
      • 倒数
        • 乘积是1的两个数互为倒数
      • 与相反数的异同
        • 不同点
          • 定义
            • 乘积是1的两个数互为倒数
            • 只有符号不同的两个数互为相反数
          • 表示
            • a（a不等于0）的倒数是1/a
            • a的相反数是-a
          • 判定
            • 若ab=1，则a，b互为倒数
            • 若a+b=0，则a，b互为相反数
          • 性质
            • 若a，b互为倒数，则ab=1
            • 若a，b互为相反数，则a+b=0
    • 有理数乘法法则的推广
      • 几个不是0的数相乘的法则
        • 积的符号由负因数的个数决定
        • 当负因数的个数是偶数时积是正数
        • 当负因数的个数是奇数时，积是负数
        • 确定符号后，再将这几个有理数的绝对值相乘
      • 含因数0的几个数相乘的法则
        • 几个数相乘，其中只要有一个因数为0，那么积就等于0
    • 有理数的乘法运算律
      • 乘法交换律
      • 乘法结合律
      • 乘法分配律
  • 除法
    • 除法法则
      • 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数
      • 同号得正，异号得负，并把绝对值相除
    • 乘除混合运算
      • 先将除法转化为乘法，再根据乘法运算法则计算
    • 加减乘除混合运算
      • 加减乘除混合运算
        • 同正数
• 乘方
  • 乘方的意义
    • 乘方的定义
      • 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂
    • 乘方的意义
      • 乘方表示几个相同因数的积，其中相同的因数是底数，因数的个数是指数
  • 有理数的乘方运算
    • 符号规律
      • 正数
        • 正数的任何次幂都是正数
      • 负数
        • 负数的奇次幂是负数
        • 负数的偶次幂是正数
        • 偶正奇负
      • 0
        • 0的任何正整数次幂都是0
    • 有理数的乘方运算
      • 先将乘方运算转化为乘法运算来完成，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值
  • 有理数的混合运算
    • 先乘方，再乘除，最后加减
    • 同级运算，从左到右进行
    • 如有括号，先做括号内的运算，按小、中、大依次进行
  • 科学记数法
    • 定义
      • 把一个大于10的数表示成a*10的n次方的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）
      • 对于小于-10的数也可以类似表示
    • 表示一个绝对值较大的步骤
      • 把小数点向左移动得到整数位数只有一位的数（非零数），得到a
      • 小数点向左移动的位数得到n
  • 近似数
    • 定义
      • 与实际接近的数
      • 使用近似数就有近似程度的问题——精确度