导图社区 2初中数学思维导图
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2初中数学思维导图
超全的初中数学思维导图，主要分为代数和几何两个大类，便于理解课本，有助于期末考试复习和背诵。
编辑于2022-07-01 12:43:57- 相似推荐
- 大纲
初中数学思维导图
代数
实数
有理数
分类
按定义分类
整数
正整数
0
自然数
负整数
分数
正分数
负分数
按正负分类
正数
正整数
正分数
0
既不是正数也不是负数
负数
负整数
负分数
概念
绝对值
定义
分类讨论
数轴
定义
要素
利用数轴比较大小
相反数
a+（-a）=0
0的相反数就是0
倒数
a*1/a=1（a≠0）
运算
法则
有乘方或开方（在无理数运算法则中）
先算其次再乘除
然后加减
规律
交换律
适用于加法和乘法
结合律
适用于加法和乘法
分配律
适用于乘法
减法与除法法则
无理数
概念
无法写成两整数之比的数
与有理数比较大小
数轴上的表示方法
二分法
勾股法
数的开方
平方根（二次方根）
定义
性质
正数的平方根有两个
0的平方根是0
负数没有平方根
开平方运算
与平方运算互为逆运算
算术平方根
非负整数的非负平方根
立方根（三次方根）
定义
性质
正数的立方根是正数
0的立方根是0
负数的立方根是负数
开立方运算
与立方运算互为逆运算
n次方根
奇次方根
正数的奇次方根是奇数
0的奇次方根是0
负数的奇次方根是负数
偶次方根
正数的偶次方根有两个
0的偶次方根是0
负数没有偶次方根
分类
按定义分
有理数
见有理数的分类
无理数
正无理数
负无理数
按正负分
正实数
正有理数
正整数
正分数
正无理数
0
负实数
负有理数
负整数
负分数
负无理数
不等式
基本概念
定义
用不等号（<，>，≤，≥，≠）连接的式子
性质
不等式两边同加或同减同一个数
不等式两旁同乘或同除一个正数
不等号方向不改变
不等式两旁同乘或同除一个负数
不等号方向改变
解与解集
解
是不等式成立的每一个未知数的值
解集
能使不等式成立的所有未知数的集合
一元一次不等式
定义
形如ax>b或ax<b的式子
一元一次不等式组
解集规律
同大取大
同小取小
大小小大中间找
大大小小无处找
含参不等式
未知系数，需讨论参数
检验边值
等式
定义
用等号连接来表示相等关系的式子
分类
恒等式
不论何时，等式都成立
条件等式
在一定条件下，等式成立
矛盾等式
不论何时，等式都不成立
性质
若a=b，则a±c=b±c
若a=b，则a*c=b*c（c≠0）
若a=b，a/c=b/c（c≠0）
对称性
若a=b，则b=a
传递性
若a=b，b=c，则a=c
方程
一元一次方程
定义
含有一个未知数
未知数最高次数为1
是等式
方程的解
最简形式
ax=b（a≠0）
标准形式
ax+b=0（a≠0）
参数讨论
以ax=b（a≠0）为例
a=0，b=0，方程无解
a=0，b≠0，方程无解
a≠0，方程有唯一解
二元一次方程（组）
二元一次方程
定义
含有两个未知数
未知数最高次数为1
是等式
方程的解
形式
形如ax+by+c=0（a，b，c为常数且a≠0，b≠0）
二元一次方程组
形式
a1x+b1y+c1=0
a2x+b2y+c2=0
两个二元一次方程联立组成
x和y前的系数不全为0
解法
代入消元法
加减消元法
解的个数
无数解
无解
唯一解
推广：三元一次方程组
解法
消元法化为二元一次方程
之后再化为一元一次方程
一元二次方程
形式
解法
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
根的判定式
>0：两个不等的实数根
=0两个相等的实数根
<0：无实数根
≥0；两个实数根
韦达定理
条件
a≠0
内容
参数一元二次方程
判断方程是否为一元二次方程
判断方程根的情况
因式分解求解
分式方程
定义
形如a/bx+c=0等式
检验
验证分母不为0
分式方程无解
增根
化简后整式方程无解
其他方程
多元二次方程
消元法
高次方程
因式分解
换元法
无理方程
记得检验增根
直接平方
换元法
绝对值方程
记得检验增根
取绝对值
代数式
代数式
分类
有理式
整式
单项式
多项式
分式
无理式
二次根式
三次根式
n次根式
列代数式
步骤
书写
技巧
整式
单项式和多项式合称为整式
单项式
定义
组成
系数
次数
多项式
定义
组成
项
注意：常数项是不含字母的项
次数
排列
升幂
降幂
运算法则
同类项
所含字母和次数都相同
合并同类项
系数相加，字母以及其次数都不变
整式乘法
整式除法
幂的运算
同底数幂的乘除
积和除的乘方
幂的乘方
0指数幂
负指数幂
在实数范围内，底数满足大于0时成立
因式分解
与整式乘法互逆变形
常用方法
提取公因式法
公式法
十字相乘法
仅在分解的多项式为二次三项式时适用
大除法
分解步骤
分式
定义
形如A/B（A，B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子
基本性质
分子和分母同乘或同除一个不为0的数，分式的值不变
通分
最简公分母
约分
分子分母公因式
最简分式
运算法则
乘法法则
除法法则
同分母分式相加减
异分母分式相加减
分式的乘方
分式和整式统称为有理式
根式
概念
定义
形如
a≥0
最简二次根式
被开方数不含分母
被开方数不含能开得尽的因数或因式
同类二次根式
性质
二次根式的双重非负性
≥0
a≥0
化简二次根式
运算
二次根式的加减法
二次根式的乘除法
分母有理化
平面直角坐标系
平面直角坐标系
定义
同一平面内，做两条互相垂直，原点重合的数轴组成平面直角坐标系
点的坐标
表示为（a，b）
象限分类
第一象限
（+，+）
第二象限
（－，+）
第三象限
（－，－）
第四象限
（+，－）
特殊点与特殊线
x轴上的点
纵坐标为0
y轴上的点
横坐标为0
平行于x轴上的点
纵坐标相同
平行于y轴上的点
横坐标相同
一三象限角平分线上的点
横纵坐标相同
二四象限角平分线上的点
横纵坐标互为相反数
有序数对
定义
以有顺序的两个数a和b组成的数对叫做有序数对
记作（a，b）
常见类型
平面型
环形
经纬度
图形的变换
平移
向右平移a个单位
（x，y）→（x+a，y）
向左平移a个单位
（x，y）→（x－a，y）
向上平移b个单位
（x，y）→（x，y+b）
向下平移b个单位
（x，y）→（x，y－b）
对称
关于x轴对称
（x，y）→（x，－y）
关于y轴对称
（x，y）→（－x，y）
关于原点对称
（x，y）→（－x，－y）
面积的计算
平行于坐标轴的三角形面积
割补法求多边形面积
一次函数
函数
常量与变量
常量
在一个变化中，数值始终不变的量称为常量
变量
在一个变化中，数值发生变化的量称为变量
函数的概念
函数的三种表达方式
列表法
解析式法
图像法
判断是否为函数：一个x对应一个y
自变量和函数值
函数的图像做法
列表
描点
连线
一次函数
正比例函数
定义
一般地，形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数称为正比例函数
图像
正比例函数图像是一条过原点的直线
性质
函数经过一三象限
y随x的增大而增大
当k>0时
函数经过二四象限
y随x的增大而减小
当k<0时
一次函数
定义
一般地，形如y=kx+b（k为常数，且k≠0）的函数称为一次函数
图像
函数图像是一条直线
性质
当k>0，b>0，函数图像经过一二三象限，y随x的增大而增大
当k>0，b<0，函数图像经过一三四象限，y岁x的增大而增大
当k<0，b>0，函数图像经过一二四象限，y随x的减小而减小
当k<0，b<0，函数图像经过二三四象限，y随x的减小而减小
求解解析式
一次函数与方程
直线y=kx+b与x轴的交点就是kx+b=0的解
一次函数与不等式
直线y=kx+b在x轴上方部分所有的点的所对应的横坐标对应kx+b>0的解集
直线y=kx+b在x轴下方部分所有的点的所对应的横坐标对应kx+b<0的解集
一次函数交点
联立两个函数求解即可
实质上为解一元一次方程
一次函数综合
k值的作用
k值相等时，两个一次函数平行
k值相乘为－1时，两个一次函数垂直
一次函数与x轴的夹角为45°时，k=±1
一次函数与x轴夹角为30°时，k=±√3/3
一次函数与x轴夹角为60°时，k=±√3
平移变化
左加右减，上加下减
对称变化
关于x轴对称
y=－kx－b
关于y轴对称
y=－kx+b
以y=kx+b为例
应用
方案决策类问题
行程问题
工程问题
分段函数问题
三角形问题
将军饮马问题
特殊图形存在性问题
全等三角形/相似三角形问题
二次函数
图像与性质
定义
一般地，形如y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的函数为二次函数
y=ax²的图像与性质
开口方向
a＞0，开口向上
a＜0，开口向下
对称轴
y轴
顶点坐标
（0，0）
最值
a＞0，函数有最小值0
a＜0，函数有最大值0
y=ax²+c的图像与性质
开口方向
a＞0，开口向上
a＜0，开口向下
对称轴
y轴
顶点坐标
（0，c）
最值
a＞0，函数有最小值c
a＜0，函数有最大值c
y=a（x－h）²的图像与性质
开口方向
a＞0，开口向上
a＜0，开口向下
对称轴
y=h
顶点坐标
（h，0）
最值
a＞0，函数有最小值0
a＜0，函数有最大值0
y=a（x－h）²+k的图像与性质
开口方向
a＞0，开口向上
a＜0，开口向下
对称轴
y=h
顶点坐标
（h，k）
最值
a＞0，函数有最小k
a＜0，函数有最大值k
y=ax²+bx+c的图像与性质
开口方向
a＞0，开口向上
a＜0，开口向下
对称轴
y=－b/2a
顶点坐标
（－b/2a，4ac－b²/4a）
最值
a＞0，函数有最小值4ac－b²/4a
a＜0，函数有最大值4ac－b²/4a
系数对二次函数图像的影响
a决定抛物线的开口方向及大小
a＞0，开口向上
a＜0，开口向下
|a|越大，开口越小，反之，开口越大
c决定抛物线与有轴的交点
c＞0，交点在y轴正半轴
c＜0，焦点在y轴负半轴
c=0，焦点在坐标原点
a，b共同决定抛物线的位置
a，b同号，对称轴在y轴左侧
a，b异号，对称轴在y轴右侧
b²－4ac决定与x轴的交点个数
b²－4ac＞0，与x轴交点有2个
b²－4ac=0，与x轴交点有1个
b²－4ac＜0，与x轴无交点
待定系数法求解
一般式
y=ax²+bx+c
顶点式
y=a（x－h）²+k
交点式
y=a（x－x₁）（x－x₂）
图像变换
平移变换
左加右减，上加下减
对称变换
关于x轴对称
x不变，y前添负号
关于y轴对称
y不变，x前添负号
与一元二次方程的关系
与一元二次方程的关系
一般地，如果抛物线与x轴有交点，则其对应的方程的解就是交点的横坐标
与不等式的关系
a+b+c与0的关系
令x=1，观察对应y值的位置
a－b+c与0的关系
令x=－1，观察对应y值的位置
4a+2b+c与0的关系
令x=2，观察对应y值的位置
与一次函数交点问题
联立一次函数以及二次函数解析式，求解方程即可
综合性问题
应用题
面积，周长问题
经济问题
桥梁，隧道问题
面积问题综合
割补法求面积
铅锤高做法求面积
平行线法求面积
特殊图形存在性问题
等腰三角形
等边三角形
等腰直角三角形
平行四边形
与相似综合
与全等综合
反比例函数
图像与性质
定义
一般地，形如y=k/x（k为常数，且k≠0）
图像的对称性
轴对称
当k＞0时，对称轴为y=－x
当k＜0时，对称轴为y=x
中心对称
对称中心为原点
性质
与坐标轴没有交点
图像为双曲线
k＞0，图像在一三象限
k＜0，图像在二四象限
k的几何意义
图像上的点（x，y），乘积为k
反比例函数上任取一点，做x，y轴的垂线，面积为|k|
反比例函数上任取一点，做x或y轴的垂线，所围成三角形的面积为|k|/2
求解反比例函数
步骤
设出y=k/x
将已知条件带入
解方程
写出解析式
一次函数与一次函数交点问题
联立求解方程
判断交点个数
三角函数
锐角三角函数
定义
正弦
sin值
对边比斜边
sin90°=1
sin0°=0
余弦
cos值
邻边比斜边
cos90°=0
cos0°=1
正切
tan值
对边比邻边
tan0°=0
tan90°不存在
余切
cot值
邻边比对边
cot0°不存在
cot90°=0
三角函数
性质
增减性
锐角三角函数为正值
当角度为0°~90°间变化时
正弦值随角度的增加而增加
余弦值随角度的增加而减小
正切值随角度的增加而增加
余切值随角度的增加而减小
同角三角函数关系
sin²A+cos²A=1
tanA=sinA/cosA
cotA=cosA/sinA
tanA*cotA=1
互余角三角函数关系
sinA=cosB
cosA=sinA
tanA=cotB
cotA=tanB
sin²A+sin²B=1
cos²A+cos²B=1
tanA*tanB=1
以∠A+∠B=90°为例
特殊叫三角函数
45°的三角函数值
30°的三角函数值
60°的三角函数值
15°的三角函数值
75°的三角函数值
解直角三角形
定义
在Rt△中，由已知元素推出未知元素的过程为解直角三角形
性质
∠A+∠B=90°
a²+b²=c²
以Rt△ABC为例
三角函数值
应用
坡度角问题
仰角俯角问题
方向角问题
概率
随机事件与概率
确定事件
必然事件
事先就肯定一定会发生的事件
不可能事件
事先就肯定一定不会发生的事件
随机事件
一定条件下，可能发生也可能不发生的事件
概率
必然事件发生的概率为1
不可能事件发生为0
随机事件发生概率大于0，小于1
列举法求概率
随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数/所有可能出现的结果数
古典概型
列表法
树状图
适用于较少的结果数
用频率估计概率
频率得到的是近似值
试验次数越多，频率越近似于概率，即更精确
几何
几何初步和三角形
线
分类
线段
射线
直线
相交线
两条直线相交
对顶角相等
垂直及其性质
两条直线被第三条直线所截
同位角
内错角
同旁内角
平行线
定义
同一平面内，两条永不相交的直线被称作为平行线
记作直线a//b
性质
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
判定
两直线被第三条直线所截，同位角相等，两直线平行
两直线被第三条直线所截，内错角相等，两直线平行
两直线被第三条直线所截，同旁内角互补，两直线平行
平行公理及推论
若a//b，b//c，则a//c
同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a//c
平行线间距离相等
角
角的定义
有一个点向外引出两条射线，这两条射线形成的图形叫做角
顶点
边
角的分类
锐角
0°<∠α<90°
直角
∠α=90°
钝角
90°<∠α<180°
平角
∠α=180°
周角
∠α=360°
角的计算和比较
度、分、秒
单位换算
1°=60′=3600″
余角与补角
互余：∠1+∠2=90°
互补：∠1+∠2=180°
三角形
定义
有三条线段首尾顺次相连所形成的图形叫做三角形
分类
按角分类
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
按边分类
等边三角形
等腰三角形
普通三角形
性质
三角形三边关系
任意两边之和大于第三边
任意两边之差小于第三边
内角和外角
内角和为180°
外角和为360°
任意两角之和等于与它们不相邻的外角
勾股定理
中位线
定义
三角形任意两边的中点的连线叫做三角形的中位线
性质
平行于第三边
为第三边长度的一半
判定
定义法
过中点做另一边的平行线交第三边所形成线段
直角三角形斜边的中线
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
镶嵌（密铺）
相邻各角相加为360°
只有正三角形，正方形，正六边形才能满足只用一种图形密铺
全等三角形
普通三角形判定定理
边边边（SSS）
边角边（SAS）
角边角（ASA）
角角边（AAS）
直角三角形判定定理
具备普通三角形的判定方法
斜边与任意一条直角边（HL）
角平分线
定理
大角被平分
两角相等
性质
线上任意一点到角两边的距离相等
尺规作图
性质
对应边相等
对应角相等
对应高相等
对应中线相等
对应角平分线相等
周长相等
面积相等
相等的推广
相似三角形
定义
形状相同、对应角相等对应边成比例的图形
性质
对应角相等
对应边成比例
对应高成相似比例
对应中线成相似比例
对应角平分线成相似比例
周长成相似比例
面积成相似比例的平方
成比例的推广
判定定理
普通三角形
两边对应成比例且比例夹角相等
三边对应成比例
两角对应成比例
直角三角形
具备普通三角形的判定方法
斜边与任意一条直角边对应成比例
四边形
相关概念
四条线段首尾相连所形成的封闭图形
内角和为360°
外角和为360°
平行四边形
定义
两组对边平行的四边形
性质
对边平行且相等
对角相等
邻角互补
对角线互相平分
面积
面积=底*高
S=a*h
判定
边
两组对边分别相等的四边形
一组对边相等且平行的四边形
两组对边分别相等的四边形
角
两组对角分别相等的四边形
对角线
对角线互相平分的四边形
菱形
定义
一组邻边相等的平行四边形
性质
边
四边相等
角
对角相等
邻角互补
对角线
对角线互相垂直平分
对角线平分一组对角
面积
同平行四边形面积公式一样
对角线乘积的一半
判定
边
四条边相等的四边形
邻边相等的平行四边形
角
对角线互相垂直平分的四边形
对角线互相垂直的平行四边形
矩形
定义
有一个角为直角的平行四边形
性质
边
对边平行且相等
角
四个角都为直角
对角线
对角线互相平分
对角线相等
判定
角
有一个角为直角的平行四边形
有三个角为直角的四边形
对角线
对角线相等的平行四边形
正方形
定义
既是矩形又是菱形的四边形
性质
边
对边平行
四边相等
角
四个角都为直角
对角线
互相垂直平分
相等
平分一组对角
判定
矩形
一组邻边相等的矩形
对角线互相垂直的矩形
菱形
有一个角为直角的菱形
对角线相等的菱形
其他
对角线互相垂直平分且相等的四边形
圆
圆的认识
定义
在一个平面内，线段OA绕固定端点O旋转一周，另一端点A所形成的图形
性质
对称性
旋转不变性
几何表示
O为圆心的圆记作“¤O”
圆O
三角形的外接圆和内切圆
外接圆
内切圆
多边形的外接圆
四边形的外接圆
满足对角互补的四边形，四个顶点共圆（四点共圆）
同圆、等圆和同心圆
等弧
同弧
弧
优弧
n>180°
劣弧
n<180°
半圆
n=180°
弦
圆中最长的弦：直径
圆的位置
与点的关系
点在圆上
d=r
点在圆外
d>r
点在圆内
d<r
与直线的关系
相切
直线与圆仅有一个交点
相交
直线与圆有两个交点
相离
直线与圆没有交点
与圆的关系
相切
外切
内切
相交
相离
外离
内含
与圆相关的计算
周长的计算
圆周长
扇形周长
面积的计算
圆面积
扇形面积
圆柱体表面积
圆锥体表面积
正多边形与圆的相关计算
直线与圆的相关计算
圆心到直线的距离
弧上到直线的最短距离
圆与圆的相关计算
两圆心之间的距离
与圆相关的定理
圆心角和圆周角
同圆或等圆中，相等的弧所对应的圆心角或圆周角相等
同圆或等圆中，相等的圆心角或圆周角所对的弧相等
同圆或等圆相等的弧所对的圆心角是其对应的圆周角的两倍
直径所对的圆周角为90°
垂径定理
弦被垂线平分
所对的优弧和劣弧皆被垂线平分
连接弦所对应弧的中点和圆心垂直并平分弦
连接弦两端的端点与圆心所形成的夹角被垂线平分
切线定理
切点到圆心的距离等于半径
切点与圆心的连线垂直于切线
切线长定理
两个切点分别与切线交点的连线相等
两个切点分别与切线交点的连线所形成的夹角被切线交点和圆心的连线平分
圆幂定理
割线定理
PA*PB=PC*PD
相交弦定理
PA*PB=PC*PD
切割线定理
PA*PB=PC*PC
割线定理和相交弦定理的推广
投影与视图
投影
定义
用光线照射物体，在某个平面上得到的影子
分类
平行投影
由平行的光线照射所形成的投影
中心投影
从一点发出的光线照射所形成的投影
正投影
与投影面垂直的光线照射所形成的投影
视点、视线和盲区
视图
定义
从某一个角度观察物体所看到的图像
三视图
主视图
俯视图
左视图
立体图形的表面展开图
数据的统计，整理与描述
统计方式
调查方式
普查
抽样调查
组成元素
总体
个体
样本
样本容量
频数直方图
频数与频率
频数
是指每个对象出现的次数
频率
是指每个对象出现的次数与总次数之比
频数（率）分布表
频数分布表
步骤
计算极差
决定组与组距
将数分组
列频率分布表
频数（率）分布直方图
步骤
计算极差
决定组与组距
确定分点，将数据分组
列频数分布表
给制频数分布直方图
频数（率）分布折线图
步骤
制作频数（率）分布直方图
将每个直方图上方的横线中点标出来
连接各部分中点
统计表
扇形统计图
定义
用整个圆表示各部分所占百分比的统计图
特点
可以直观看出各部分所占总数的百分比
相关公式
扇形圆心角度数=所占百分比×360°
条形统计图
定义
用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不一的矩形长条的统计图
特点
易比较数据之间的大小
折线统计图
定义
用一个单位的量，根据数量的多少描出各点，把各点连接起来的统计图
特点
清晰地表现出数据的大小
表现出数量增减的变化情况
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