圆 思维导图

初中数学《圆》，圆的定义，圆的相关概念，点与圆，直线与圆，知识点总结。房主小伙伴快速掌握初中数学的内容，要点！

圆

• 圆的定义
  • 到定点的距离等于定长的点集 （指圆周非圆面)
  • 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。
• 相关概念
  • 弧
    • 弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作
    • 等弧：同圆或等圆中能够完全重合的两个弧
    • 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 大于半圆的弧叫做优弧（用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（用两个字母表示）
  • 弦
    • 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB）；最长的弦为直径（如图中CD），直径的弦心距为零
    • 弦心距：圆心到弦的距离（如图中OM）
    • 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦 ,并且平分弦所对的两条弧
    • 垂径定理推论
      • (1) 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
      • (2)弦的垂直平分线必过圆心，并且平分弦所对的两条弧
      • (3)平分弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
    • ★总结：①过圆心、②垂直弦、③平分弦(不是直径)、④平分弦所对的劣弧、⑤平分弦所对的优弧，知2推3
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  • 角
    • 圆周角定理及推论
      • 圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角叫做圆周角
      • ☆圆周角定理 ：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，等于它所对的圆心角的一半
      • 推论1
        • 在同圆或等圆中，圆周角相等，则所对的弧也相等
      • 推论2
        • 半圆(或直径)所对的圆周角是直角 ,90°的圆周角所对的弦是直径
    • 圆心角
      • 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数
      • 圆心角定理：同圆或等圆中，圆心角相等，则所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等
      • ★总结：在同圆或等圆中，①圆心角相等、②弦相等、③弧相等、④弦心距相等、知1推3
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    • 圆内接四边形及性质
      • 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形叫做圆内接四边形
      • ☆圆内接四边形，对角互补，外角等于内对角（如图中∠ABE=∠D）
• 点与圆
  • 如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则 d＞r点在圆外；(2)d=r点在圆上；(3)d＜r点在圆内
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• 直线与圆
  • 相交
    • 直线与圆有两个交点
      • d＜r，其中d为圆心到直线的距离
        • 这条直线叫做圆的割线
  • 相切
    • 直线与圆有1个交点
      • d=r，其中d为圆心到直线的距离
        • 这条直线叫做圆的切线，相交的点叫做切点
    • 判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
    • 性质：圆的切线垂直于过切点的半径
    • 切线长
      • 切线长：圆外一点与切点之间的线段的长
      • 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．
      • (1)PA=PB; (2)∠APO=∠BPO=∠OAC=∠OBC,∠AOP=∠BOP=∠CAP=∠CBP
    • 证切线方法
      • 切点无字母：作⊥、证r
        • 证全等
      • 切点有字母：连r、证⊥
        • 有角平分线+垂直，证平行
        • 有切线证全等
        • 证角+角=90°
    • 弦切角定理：弦与切线的夹角=弦所对的圆周角
  • 相离
    • 直线与圆没有交点
      • d＞r，其中d为圆心到直线的距离

圆

• 常添辅助线
  • 连接圆心和切点
  • 过圆心作弦的垂线，构造直角三角形。
• 性质
  • 圆的对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形，圆还具有旋转不变性.
  • 三角形的内心和外心
    • ⑴确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆
    • ⑵三角形的外心：三角形外接圆的圆心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等
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    • ⑶三角形的内心：三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点，它到三边的距离相等
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• 圆锥及其展开图
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