七年级数学（上）——有理数的解题方法

初中七年级数学上册有理数章节中有理数解题方法的总结，在总结方法同时，理清各个知识点的类型与层级间的逻辑关系，可有效提高学生对有理数的认识及做题的正确率。 后续其它各科知识点正在不断更新中，随时发布。 正所谓“三人行，必有我师焉！”如发现不足或错漏欢迎大家的指正。

有理数的解题方法与应用

• 集合问题中关键词表述的意思
• 数轴的应用与解题方法
  • 写出数轴上点表示的数的步骤
  • 在数轴上画出表示数的点的步骤
  • 归纳结论
• 相反数的应用与多重符号化简
  • 1、一个正数前面不管有多少个“+”号，都可以全部省略不写。
  • 2、一个正数前面有偶数个“－”号，则化简后将全部的“－”号去掉。
  • 3、一个正数前面有期数个“－”号，则化简后只保留一个“－”号。
  • *多重化简只与“－”号有关 *奇负偶正
  • 例题：思考“-m”一定是负数吗？
  • 小结
    • 1、利用相反数的定义，可以对多重符号进行化简。
    • 2、借助数轴，可以很直观的解决某些与相反数有关的问题。
• 绝对值的应用与解题方法
  • 求一个有理数的绝对值
    • 一个正数的绝对值是它本身。若a＞0；则½a½=a
    • 一个负数的绝对值是它的相反数。若a＜0；则½a½=-a
    • “0”的绝对值是“0”。若a=0；则½a½=0
  • 互为相反数的两个数的绝对值的关系
    • 互为相反数的两个数的绝对值相等。
  • 比较两个有理数的大小
    • 代数方法比较两个有理数大小的5种情形（利用数轴）
      • 1、正数与正数
        • 两个正数，绝对值大的数较大。
      • 2、负数与负数
        • 两个负数，绝对值大的数反而小。
      • 同号两个数比较大小，要考虑它们的符号和绝对值。
      • 3、正数与负数
        • 正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
          • 异号两个数比较大小要考虑它们的正负。
      • 4、正数与0
        • 正数大于0
      • 5、负数与0
        • 负数小于0
    • 几何方法
      • 数轴上左边的点表示的数比右边的点表示的数要小。
• 有理数的混合运算
  • 有理数混合运算的顺序
    • 1、如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
    • 2、先乘方，再乘除，最后加减；
    • 3、同级运算，从左到右进行；
  • 乘方解题方法
    • 1、先审题，审清题目中的计算类型，确定计算顺序。
    • 2、心中明确运算法则及乘方的意义再计算，计算过程中一定要处理好符号问题。
      • 正数的任何次幂都是正数。
      • 负数的奇次幂是负数； 负数的偶次幂是正数。
      • 0的任何正整数次幂都是0。
  • 有理数的乘法运算方法及步骤
    • 计算时，先观察题目，充分应用乘法的运算律进行简便计算。
    • 有理数乘法步骤
      • 1、先观察是否有0的因素
      • 2、再确定积的符号（奇负偶正）；
        • 几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。 当负因数的个数是偶数时，积为正； 当负因数的个数是奇数时，积为负。 简记为“奇负偶正”
      • 3、计算过程中带分数化为假分数、小数化为分数；
      • 4、最后确定积的绝对值
  • 有理数除法的解题方法
    • 能整除的情况
      • 在进行有理数除法运算时，能整除的情况下，采用除法法则的后一种形式，先确定符号，直接除；
    • 有理数相除法的商的符号规律
      • 两数相除，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相除。 0除任何一个不等于0的数，都得0
    • 不能整除或除数为分数的情况
      • 在不能整除或除数为分数的情况下，则往往将除数转换成倒数，转化为乘法运算，同时可以用乘法的运算律简化运算。
        • 转化过程中“两变”要牢记！
          • 一变符号，除号变乘号； 二变除数，除数变倒数。
      • 分数的化简
        • 分数线具有除号的作用，因此化简分数时可以将分数看作分子除以分母，利用除法法则进行化简。
        • 化简分数的过程中，同时改变分数的分子、分母及分数本身中的任意两个，分数的值均不变。
  • 有理数的加法应用与解题方法
    • 应用加法运算律简便计算的5种情形
      • 1、符号相同的数先相加 2、几个数相加得到整数先相加 3、互为相反数的两个数先相加 4、分母相同的数先相加 5、整数与整数，小数与小数先相加，
      • 例如
      • 例如
    • 有理数加法的运算步骤
      • 1、观察；（是否能用加法运算律进行简便计算）
      • 2、审；（两个加数是否是同号、异号，有无0。）
      • 3、定符号，定绝对值。
      • 4、算结果。
  • 有理数减法的运算
    • 有理数减法的解题方法
      • 1、加减有理数加减混合运算先统一为加法运算；既：a+b-c=a+b+(-c) （**注意运算符号的变化。）
      • 2、写成省略加号和括号的形式
      • 3、再按照有理数加法的解题方法计算
    • 两个数的大小关系与它们差的正负性
      • 如果大数减小数，那么大数减小数的差大于0；如果a＞b，那么a-b＞0
      • 如果小数减大数，那么小数减大数的差小于0；如果a＜b，那么a-b＜0
      • 如果两个相同的数相减，那么它们的差等于0；如果a=b，那么a-b=0
  • 寻找规律
    • 从"定"与"变"两个角度找规律
      • 1、从符号和绝对值两方面考虑数字的排列规律；
      • 2、从数之间的运算关系寻找数列规律；
      • 3、找到排列规律后，通过特例进行验证。